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MATEMATICA I

MATEMATICA I

MATEMATICA I


17. MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN CON NÚMEROS RACIONALES.
17.1. MULTIPLICACIÓN CON NÚMEROS RACIONALES.
17. MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN CON NÚMEROS RACIONALES.
17.1. MULTIPLICACIÓN CON NÚMEROS RACIONALES.
17. MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN CON NÚMEROS RACIONALES.
17.1. MULTIPLICACIÓN CON NÚMEROS RACIONALES.
ÍNDICE


‒ Multiplicación con números racionales.

La multiplicación con números racionales es más simple que la suma o adición de números racionales. Solo se debe multiplicar los numeradores y denominadores de cada fracción a multiplicar. Se tiene que tomar en cuenta el signo de los numeradores y denominadores al multiplicar si estos son números enteros.

Ejemplo 1.

Multiplicar los siguientes números:




Se multiplican los numeradores: 5x3=15

Se multiplican los denominadores: 3x2=6

Con lo que se obtiene la siguiente fracción:


Ejemplo 2.

Multiplicar los siguientes números:




Se multiplican los numeradores: -5x3=-15

Se multiplican los denominadores: 3x2=6

Con lo que se obtiene la siguiente fracción:




Cuando multiplicamos más de dos fracciones, podemos simplificar cualquier numerador con cualquier denominador de las fracciones a multiplicar. Es decir, para simplificar hay que buscar un número que divida el numerador y el denominador de otra fracción diferente que estemos multiplicando.

Ejemplo 3.

Multiplicar.




Lo que haremos por comodidad es colocar los numeradores encima de una línea y por debajo los denominadores.




De ese modo podemos observar que el 7 se puede simplificar con el 7 que esta debajo, luego el 6 se puede simplificar con un 3, pero no con los dos y finalmente el 5 se puede simplificar con el 10.



Podemos seguir simplificando -4 con el 2, para luego multiplicar los numeradores y denominadores que quedan y obtener el resultado final.


Es bastante común escuchar expresiones como los 3/4 de 25, 1/2 de 50, 1/8 de 400, etc. En estos casos lo que nos piden hacer es una multiplicación de un número entero con una fracción, debemos tener presente que todo número entero o natural tendrá como denominador al número 1, por lo que solo debemos multiplicar el numerador de la fracción con el número entero en cuestión.

Ejemplo 4.

Hallar los 3/4 de 400.


Multiplicamos 400x3=1200

Con lo que obtenemos la siguiente fracción:




Pero como esta fracción se puede reducir entonces los 3/4 de 400 es 300.

Ejemplo 5.

Eduardo comió 1/8 de una torta de fresa y después 2/5 de una torta de manzana. ¿Cuántos gramos de torta comió si cada torta pesaba 60 gramos?


Primero debemos sumar las fracciones




Como cada pizza pesa 60 gramos, entonces las dos pesan 120 gramos.

Ahora necesitamos saber cuanto es 21/40 de 120 gramos.




Él comió 63 gramos de torta.

‒ Axiomas de la multiplicación.

En los siguientes axiomas las letras a,b y c representan números racionales.


‒ Axiomas
Axiomas Simbólicamente

1

Axioma 01: Elemento neutro. Existe solo un numero entero el uno, que al multiplicar con otro número racional no altera el resultado de la multiplicación.

Ejemplo 1:

1/3·1=1/3.

Ejemplo 2:

-1/3·1=-1/3.

a·1=a

2

Axioma 02: Elemento cero. Existe únicamente un numero natural el cero, que al multiplicar con otro número racional el resultado será cero.

Ejemplo 1:

1/5·0=0

Ejemplo 2:

-1/5·0=0

a·0=0

3

Axioma 03: Clausura. Cuando se multiplican números racionales el resultado es siempre otro número racional.

Ejemplo 1:

1/3·2/5=2/15.

Ejemplo 2:

-1/3·2/5=-2/15

a·b=c

4

Axioma 04: Uniforme. La multiplicación de números iguales son también iguales.

Ejemplo 1:

1/8=1/8 y 1/7=1/7, entonces 1/8·1/7=1/8·1/7

Ejemplo 1:

-2/3=-2/3 y 5/3=5/3, entonces -2/3·5/3=-2/3·5/3

Si a=b y c=d, => a·c=b·d 

5

Axioma 05: Uniforme. Si a ambos miembros de una igualdad se le multiplica el mismo numero, la igualdad se mantiene.

Ejemplo 1:

8/3=8/3, entonces 8/3x1/5=8/3x1/5

Ejemplo 2:

-3/5=-3/5, entonces -3/5x1/5=-3/5x1/5

Si a=b, => a·c=b·c

6

Axioma 06: Monotonía. Cuando se multiplica un número positivo a cada miembro de una desigualdad, la desigualdad se mantiene.

Ejemplo 1:

8/3<9/2, entonces 8/3x1/5<9/2x1/5

Ejemplo 2:

5/4>2/5, entonces 5/4x2>2/5x2

Si a>b, => a·c>b·c ↔ c>0

Si a<b, => a·c<b·c ↔ c>0

 
7

Axioma 07: Monotonía. Cuando se multiplica un número negativo a cada miembro de una desigualdad, la desigualdad se invierte.

Ejemplo 1:

8/3<9/2, entonces 8/3x-1/5>9/2x-1/5

Ejemplo 2:

5/4>2/5, entonces 5/4x-2<2/5x-2

Si a>b, => a·c<b·c ↔ c<0

Si a<b, => a·c>b·c ↔ c<0

 
8

Axioma 08: Monotonía. Cuando se multiplica miembro a miembro dos desigualdades mayor que, se obtiene otra desigualdad del mismo sentido, siempre y cuando ambos miembros sean mayor que 0.

Ejemplo 1:

1/2>1/3 y 5/2>3/5, entonces 1/2·5/2>1/3·3/5, si y sólo si 1/2>1/3>0 y 5/2>3/5>0

Si a>b y c>d, => a·c>b·d ↔ a>b>0 y c>d>0 

9

Axioma 09: Monotonía. Cuando se multiplica miembro a miembro dos desigualdades menor que, se obtiene otra desigualdad del mismo sentido, siempre y cuando ambos miembros sean mayor que 0.

Ejemplo 1:

8/3<9/8 y 3/2<5/2, entonces 8/3·3/2<9/8·5/2, si y sólo si 0<8/3<9/8 y 0<3/2<5/2.

Si a<b y c<d, => a·c<b·d ↔ 0<a<b y 0<c<d

10

Axioma 10: Conmutativa. El orden de los factores no altera el resultado de la multiplicación.

Ejemplo 1:

5/3·-4/5·3/7=-4/5·3/7·5/3

a·b·c=b·c·a

11

Axioma 11: Asociativa. La multiplicación de varios números no varía sustituyendo varios factores por su multiplicación.

Ejemplo 1:

8/3·-3/2·10=8·-15, se sustituyen los factores -3 y 10, por su multiplicación -3/2·10=-15.

Ejemplo 2:

9/3·(-5/2·3) = (9/3·-5/2)·3 = 9/3·-15/2 = -45/6·3 = -45/2

En este ejemplo se usan los signos de agrupación (), para indicar la sustitución de los factores por su multiplicación.

a·b·c=(c·a)·b

12

Axioma 12: Disociativa. La multiplicación de varios números no se altera al reemplazar uno o más factores de forma que la multiplicación de los nuevos factores sea igual a la primera.

Ejemplo 1:

Si -15/2=-5·3/2, entonces 3·-15/2·2=3·(-5·3/2)·2

Si a=b·c,

=> m·a·n=m·(b·c)·n

13

Axioma 13: Distributiva. Un número multiplicado por la suma de dos números, es igual a la suma de los productos de cada sumando de la suma, por ese número.

Ejemplo 1:

4(5/3+3/2)=4·5/3+4·3/2

Ejemplo 2:

-4/3(5+3)=-4/3·5+-4/3·3

Ejemplo 3:

4(5/3-3/2)=4·5/3-4·3/2

Ejemplo 4:

-2/3(2-9)=-2/3·2-2/3·-9

a(b+c)=a·b + a·c

a(b-c)=a·b-a·c, ↔ b>c






ÍNDICE


 
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