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MATEMATICA I

MATEMATICA I

MATEMATICA I


18. POTENCIA Y RADICACIÓN CON NÚMEROS RACIONALES.
18.1. POTENCIA DE NÚMEROS RACIONALES.
18. POTENCIA Y RADICACIÓN CON NÚMEROS RACIONALES.
18.1. POTENCIA DE NÚMEROS RACIONALES.
18. POTENCIA Y RADICACIÓN CON NÚMEROS RACIONALES.
18.1. POTENCIA DE NÚMEROS RACIONALES.

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‒ ¿Qué es la potencia con números racionales?

Al igual que la potencia con números naturales y enteros, la potencia con números racionales es la operación que consiste en multiplicar un numero racional tantas veces nos indica otro numero entero, al resultado se denomina potencia, el número racional que se va a multiplicar tantas veces se denomina base y el número que indica cuantas veces se ha de multiplicar se conoce como exponente. Tal como se muestra a continuación:



En donde a/b es la base, c el exponente y d la potencia, esto se lee o se expresa como: “a/b elevado a la c es d”.

Los potencias con exponentes positivos se le conoce como potencia de números enteros con exponente natural o potencias de exponente natural. La base de una potencia de números racionales siempre se recomienda encerrarla entre paréntesis.

Ejemplo 1.

(2/3)3=8/27 se expresa como 2/3 elevado a la 3 es 8/27, es decir


Las potencias con exponente positivo, nos indica que debemos multiplicar ese numero tantas veces nos indica el exponente, pero en el caso de un exponente negativo, este nos indicara que debemos dividir la unidad o el número 1 con la base tantas veces nos indique el exponente negativo sin considerar su signo. Pero como la base es un numero racional al dividir la unidad con un número racional la fracción se invierte.

Ejemplo 2.

(2/3)-3=27/8 se expresa como 2/3 elevado a la -3 es 27/8, es decir



Otra manera de entenderlo es decir que la fracción o número racional se invierte y se eleva a la potencia positiva, es decir


Ejemplo 3.

Hallar la potencia de (3/5)-2


Otro modo de expresar o escribir la potencia es usando el símbolo del circunflejo ^, este método es usado mucho con el uso de las computadoras como las hojas de cálculo. Tal como se muestra a continuación:

(a/b)^c=d

En donde a/b es la base, c el exponente y d la potencia, esto se lee o se expresa como: “a/b elevado a la c es d”.

Ejemplo 4.

(2/3)^3=8/27 se expresa como 2 elevado a la 3 es 8, es decir 2/3x2/3x2/3=8/27

En los números racionales se suele usar expresiones como el cuadrado de 3/4 o el cubo de otro número racional, para indicar potencias con exponente 2 y 3 respectivamente.

Ejemplo 5.

Hallar el cuadrado de 3/5.


Ejemplo 6.

Hallar el cubo de 4/7


Al igual que los números enteros cuando la base es una fracción negativa, dependiendo de si el signo esta fuera o dentro de los paréntesis, la fracción con su signo se debe elevar a la potencia indicada.

Ejemplo 7.

Hallar la potencia de


Ejemplo 8.

Hallar la potencia de


Ejemplo 9.

Hallar la potencia de


Para determinar más fácilmente el signo de una potencia racional, se usan los siguientes algoritmos o procedimientos a seguir:

1. Las potencias de exponente par positivo o negativo son siempre son positivas

2. Las potencias de exponente impar positivo o negativo siempre tienen el signo de la base.

Ejemplo 10.

(-2/3)3=-8/27

(-11/12)2=121/144

-(1/2)3=-1/8

-(3/2)2=-9/4

(-1/2)-3=-8

(-2/3)-2=9/4

-(2/5)-3=-125/8

-(1/2)-2=-4

‒ Axiomas y teoremas de la potencia con números racionales.

En los siguientes teoremas las letras a,b y c representan números enteros.


‒ Axiomas
Axiomas Simbólicamente

1

Axioma 01: Clausura. La potencia de un número racional es siempre otro número racional. Solo si el exponente es un número natural mayor o igual a cero

 

Ejemplo 1:

 

2/33=8/27

 

Ejemplo 2:

 

(-3/2)3=-27/8

 

Ejemplo 3:

 

7/3-3=27/343

 

Ejemplo 4:

 

3/80=1

 

an=c

2

Axioma 02: Elemento neutro. Existe un numero natural 1, En donde todo numero racional elevado a un exponente 1 es siempre el mismo numero racional.

 

Ejemplo 1:

 

(1/2)1=1/2.

 

Ejemplo 2:

 

(8/3)1=8/3.

 

Ejemplo 3:

 

(-5/4)1=-5/4

 

a1=a

3

Axioma 03: Todo numero racional elevado a un exponente 0 es siempre 1.

 

Ejemplo 1:

 

(5/7)0=1

 

Ejemplo 2:

 

(-5/7)0=1

 

Ejemplo 3:

 

-(4/3)0=-1 En este ejemplo solo se eleva 4/3 a cero ya que el signo esta fuera de los paréntesis.

 

a0=1

4

Axioma 04: Si a los dos miembros de una igualdad se elevan al mismo exponente, la igualdad se mantiene.

 

Ejemplo 1:

 

(5/3)5=(5/3)5

 

Ejemplo 2:

 

(4/7)-5=(4/7)-5

an=bn

5

Axioma 05: Si a los dos miembros de una desigualdad se elevan al mismo exponente mayor que cero, la desigualdad se mantiene.

 

Ejemplo 1:

 

4/3>2/3 entonces (4/3)5>(2/3)3

 

Ejemplo 2:

 

3/7<9/7 entonces (3/7)3<(9/7)3

 

Si a<b, c>0 →

ac<bc

Si a>b, c>0 →

ac>bc

6

Axioma 06: Si a los dos miembros de una desigualdad se elevan al mismo exponente menor que cero, la desigualdad se invierte.

 

Ejemplo 1:

 

4/3>2/3entonces(4/3)-2<(2/3)-2

 

Ejemplo 2:

 

3/7<9/7 entonces(3/7)-2>(9/7)-2

 

Si a<b, c<0 →

ac>bc

Si a>b, c<0 →

ac<bc

7

Teorema 01: La multiplicación de potencias con el mismo exponente es otra potencia de igual exponente y cuya base es la multiplicación de las bases de las potencias que tienen el mismo exponente.

 

Ejemplo 1:

 

(2/3)3* (2/3)3 * (2/3)3=(2/3 *2/3 *2/3)3=512

 

Ejemplo 2:

 

(2/3)-3* (2/3)-3 * (2/3)-3=(2/3* 2/3 * 2/3)-3=1/512

an·bn·cn=(a·b·c)n

8

Teorema 02: La división de dos potencias, en donde la segunda potencia es distinto de cero y tienen el mismo exponente es otra potencia de igual exponente y cuya base es la división de las bases de las potencias que tienen el mismo exponente.

 

Ejemplo 1:

 

(4/3)2:(2/3)2 = {(4/3):(2/3)}2 = 4

 

Ejemplo 2:

 

(4/3)-2:(2/3)-2 ={(4/3):(2/3)}-2 =1/4

 

an:bn=(a:b)n

9

Teorema 03: La multiplicación de potencias de la misma base con exponentes diferentes, es otra potencia de la misma base en donde su exponente es la suma de los exponentes de las potencias que se multiplican.

 

Ejemplo 1:

 

(2/3)3·(2/3)-3·(2/3)4=(2/3)(3-3+4)=(2/3)4=16/81

 

am·an·ao=am+n+o

10

Teorema 04: La división de dos potencias, en donde la segunda potencia es distinto de cero, tienen la misma base, y el exponente de la segunda potencia es mayor al de la primera, es otra potencia de la misma base en donde su exponente es la diferencia de los exponentes de las potencias que se dividen.

 

Ejemplo 1:

 

(2/3)8:(2/3)4=(2/3)(8-4)=(2/3)4=16/81

 

Ejemplo 2:

 

(2/3)8:(2/3)-2=(2/3)(8–-2)=(2/3)(8+2)=(2/3)10=1024/59049

 

am:an=am-n

11

Teorema 05: La potencia de una potencia es otra potencia de igual base y el exponente es la multiplicación de los exponentes de la potencia de una potencia.

 

Ejemplo 1:

 

((((2/3)2)3)1)=(2/3)(2·3·1)=(2/3)6=64/729

 

Ejemplo 2:

 

((((2/3)2)-3)1)=(2/3)(2·3·1)=(2/3)-6=729/64

 

((am)n)o=am·n·o






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