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MATEMATICA I

MATEMATICA I

MATEMATICA I


19. NÚMEROS MIXTOS.
19.2. RELACIONES DE IGUALDAD Y DESIGUALDAD CON NÚMEROS MIXTOS.
19. NÚMEROS MIXTOS.
19.2. RELACIONES DE IGUALDAD Y DESIGUALDAD CON NÚMEROS MIXTOS.
19. NÚMEROS MIXTOS.
19.2. RELACIONES DE IGUALDAD Y DESIGUALDAD CON NÚMEROS MIXTOS.

SIGUIENTE

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‒ Igualdad y desigualdad.

A diferencia de las fracciones, podemos decir que dos números mixtos son iguales si las partes enteras son iguales y sus fracciones propias son equivalentes. Es decir, si las partes enteras de los números mixtos son diferentes entonces los números mixtos son diferentes, pero si son iguales debemos comprobar si sus fracciones propias son equivalentes.

Ejemplo 1.

Verificar si los siguientes números mixtos son equivalentes o iguales:




Aquí podemos observar que las partes enteras son iguales, con lo que debemos comprobar si sus fracciones propias son equivalentes.




Debido a que la fracciones propias son equivalentes entonces decimos que los números mixtos son equivalentes o iguales.




Ejemplo 2.

Verificar si estos números mixtos son equivalentes o iguales:




Igual que el ejemplo anterior las partes enteras son iguales, entonces verificamos si sus fracciones propias son equivalentes.




Debido a que las fracciones propias no son equivalentes entonces decimos que los números mixtos no son equivalentes.




Tal como sucedía con los números naturales, enteros y racionales, a los números mixtos que se comparan para saber si son iguales o desiguales se les llama miembros de la igualdad o desigualdad, siendo el primer miembro la cantidad que esta a la izquierda del símbolo de la igualdad o desigualdad y segundo miembro a la cantidad que esta a la derecha.

Para representar la desigualdad con números mixtos también se usan los símbolos >, <, y se debe tener en cuenta que los números mixtos pueden ser positivos o negativos. Pero, la fracción propia de un número mixto debe ser siempre positivo y el signo que nos indica si el número mixto es negativo se debe colocar delante del número mixto. Es decir, el signo negativo delante del número mixto no indica que solamente la parte entera del número mixto es negativa.

Ejemplo 3.

Indicar si los siguientes números mixtos representan un número negativo.


   ,       ,       ,   

Si, porque el signo esta delante del número mixto. El signo no indica que solamente la parte entera es negativa.
Si convertimos a fracción impropia las operaciones se deben hacer colocando el signo por delante de las operaciones de conversión.



No, porque el signo esta en la fracción propia. Lo recomendado es siempre colocar el signo fuera o delante del número mixto.
No, porque es un número mixto positivo.

Por otro lado, ya se sabe que todo número negativo es menor que cero, entonces esto nos dice que cualquier número mixto negativo es menor que cualquier número mixto positivo, o cualquier número mixto positivo es mayor que cualquier número mixto negativo.

También se dice que un número mixto negativo es mayor que otro cuando este esta más cerca al 0, según la recta numérica o es menor que otro cuando este se aleja del 0, según la recta numérica.

Para saber de dos números mixtos cual es mayor o menor que el otro, comprobamos sus partes enteras, pero si sus partes enteras son iguales entonces verificamos cual de las fracciones propias de los números mixtos es mayor o menor usando el método del aspa.

Ejemplo 4.

Determinar de los dos números mixtos si el primero es mayor que el segundo.




Al ser las partes enteras de los números mixtos iguales entonces verificamos cual de las fracciones mixtas es mayor.

Primero multiplicamos 2x7=14, este resultado se coloca encima de la primera fracción 2/3, luego multiplicamos 2x3=6 y colocamos el resultado encima de la segunda fracción 2/7.

Como 14 es mayor que 6, entonces


    es mayor que    


Es decir


    porque    

En el caso de que las fracciones propias de los números mixtos sean homogéneas y sus partes enteras sean iguales, solo se comparan los numeradores de las fracciones propias, para determinar cual es mayor o menor.

Ejemplo 5.

Determinar de los dos números mixtos si el primero es mayor que el segundo.




Tal como se puede observar las fracciones propias de los números mixtos son homogéneas, entonces comparamos los numeradores y podemos ver que 19 es mayor que 7. Lo que nos dice que:


    es mayor que    .


Es decir




Si deseamos comparar varias números mixtos con partes enteras iguales entonces necesitamos homogeneizar las fracciones propias, y evaluar los numeradores para determinar cuál es el mayor.

Ejemplo 6.

Ordenar de mayor a menor los siguientes números mixtos.




Como todos los números mixtos tienen sus partes enteras iguales entonces debemos comparar sus fracciones propias. Primero hallamos el m.c.m de 3,6,7 y 3, el cual es 42, este número será el denominador homogéneo para las fracciones a comparar.

Para obtener la fracción homogénea de 2/3, dividimos 42 entre 3, y luego multiplicamos con 2, con lo cual obtenemos 28, en donde 2/3 será equivalente a 28/42.

Para obtener la fracción homogénea de 1/6, dividimos 42 entre 6, y multiplicamos con 1, con lo cual se obtiene 7 y con eso obtenemos la fracción equivalente 7/42.

Para obtener la fracción homogénea de 3/7, dividimos 42 entre 7, y multiplicamos con 3, con lo cual se obtiene 18 y con eso obtenemos la fracción equivalente 18/42.

Entonces las fracciones homogéneas de 2/3, 1/6, 3/7 correspondientes son:




Como nos piden que ordenemos las fracciones de mayor a menor, las ordenamos comparando los numeradores de las fracciones homogéneas obtenidas, y los números mixtos ordenadas de mayor a menor son:




Existen números mixtos con partes enteras iguales, en donde sus fracciones propias tienen el mismo numerador, para saber cual es el mayor o menor, se debe observar los denominadores, si una fracción propia tiene un denominador mayor a las demás fracciones propias entonces ese será el número mixto menor de todas, y si una fracción propia tiene un denominador menor a los demás entonces ese será el mayor número mixto de todos.

Ejemplo 7.

Ordenar de forma ascendente y descendente las siguientes fracciones.




Observando vemos que 2/11 es la menor fracción propia de todas los números mixtos por tener un denominador mayor al de los demás. Entonces ordenando los números mixtos en forma ascendente tenemos:




Y en el caso de ordenarlo de forma descendente, podemos observar que la fracción propia 2/3 es la mayor fracción propia de todas, por lo que ordenando los números mixtos en forma descendente tenemos:




La definición de igualdad y desigualdad se puede generalizar explicándolo simbólicamente del siguiente modo:


‒ Simbolos de igualdad y desigualdad.
Símbolo Descripción

a=b

a es igual a b, si a y b representan las mismas cantidades.

a≠b

a no es igual a b, si a y b representan distintas cantidades.

a>b

a es mayor que b, si a representa una cantidad mayor que b.

a<b

a es menor que b, si a representa una cantidad menor que b.



En donde a y b representan cualquier numero natural. Existen otros símbolos de desigualdad que son, el mayor o igual que cuyo símbolo es ≥, y el menor o igual que cuyo símbolo es ≤, en donde:


‒ Otros simbolos de igualdad y desigualdad.
Símbolo Descripción

a≥b

a es mayor o igual que b, si a representa una cantidad mayor o igual a b. Es decir la relación de desigualdad se cumple cuando la cantidad a es igual o en su defecto es mayor que b.

a≤b

a es menor o igual que b, si a representa una cantidad menor o igual a b. Es decir la relación de desigualdad se cumple cuando la cantidad a es igual o en su defecto es menor que b.



‒ Axiomas de la igualdad y desigualdad.

Los siguientes axiomas son los mismos de los números naturales, enteros y fraccionarios pero con la diferencia de que las letras a,b y c representan números mixtos.


‒ Axiomas.
Axiomas Simbolicamente
1

Axioma 01: Reflexiva. Todo número es igual a sí mismo.

a=a

2

Axioma 02: Simetría. Si un número es igual a otro, éste es igual al primero.

Si a=b, ⇒ b=a.

 3

Axioma 03: Transitiva. Si un número es igual a otro y éste es igual a un tercero, entonces el primero es igual al tercero.

Si a=b y b=c, ⇒ a=c.

4

Axioma 04: Transitiva. Si un número es mayor que otro y éste es mayor que un tercero, entonces el primero es mayor que el tercero.

Si a>b y b>c, ⇒ a>c.

5

Axioma 05: Transitiva. Si un número es menor que otro y éste es menor que un tercero, entonces el primero es menor que el tercero.

Si a<b y b<c, ⇒ a<c.

6

Axioma 06: Transitiva. Si un número es mayor que otro y éste es igual a un tercero, entonces el primero es mayor que el tercero.

Si a>b y b=c ⇒ a>c.

7

Axioma 07: Transitiva. Si un número es menor que otro y éste es igual a un tercero, entonces el primero es menor que el tercero.

Si a<b y b=c ⇒ a<c.

 


‒ Video : Números mixtos iguales o equivalentes.


‒ Video : Determinar el mayor de dos números mixtos.


‒ Video : Ordenar números mixtos.





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‒ Comentarios y sugerencias.

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