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MATEMATICA I

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2. IGUALDAD Y DESIGUALDAD DE NUMEROS NATURALES.
2.2. RELACIONES DE IGUALDAD Y DESIGUALDAD EN LOS NUMEROS NATURALES.
2. IGUALDAD Y DESIGUALDAD DE NUMEROS NATURALES.
2.2. RELACIONES DE IGUALDAD Y DESIGUALDAD EN LOS NUMEROS NATURALES.
2. IGUALDAD Y DESIGUALDAD DE NUMEROS NATURALES.
2.2. RELACIONES DE IGUALDAD Y DESIGUALDAD EN LOS NUMEROS NATURALES.
ÍNDICE


‒ Igualdad y desigualdad.

Decimos que dos cantidades son iguales si representa la misma cantidad de cosas, es decir si el número cardinal de un grupo de cosas es igual al número cardinal de otro grupo de cosas.

La igualdad se representa con el símbolo =, colocando en ambos lados las cantidades que se comparan.

Ejemplo 1.

Si en una cesta de manzanas, después de contarlas obtenemos que hay 8 manzanas y en otra cesta de peras, después de contarlas obtenemos que hay 8 manzanas, entonces decimos que ambas cestas tienen la misma cantidad de manzanas y peras, entonces decimos que 8 es igual a 8. Usando el símbolo igual se escribe 8=8.

Decimos que dos cantidades son desiguales si no representa la misma cantidad de cosas, es decir si el número cardinal de un grupo de cosas no es igual al número cardinal de otro grupo de cosas. La desigualdad se representa con el símbolo ≠, colocando en ambos lados las cantidades que se comparan.

Ejemplo 2.

Si en una cesta de manzanas, después de contarlas obtenemos que hay 10 manzanas y en otra cesta de peras, después de contarlas obtenemos que hay 8 manzanas, entonces decimos que ambas cestas no tienen la misma cantidad de manzanas y peras, entonces decimos que 10 no es igual a 8. Usando el símbolo de desigualdad se escribe 10≠8.

Las cantidades que se comparan para saber si son iguales o desiguales se les suele llamar miembros de la igualdad o desigualdad, siendo el primer miembro la cantidad que esta a la izquierda del símbolo de la igualdad o desigualdad y segundo miembro a la cantidad que esta a la derecha.

La desigualdad también se representa usando los símbolos >, <, en donde la punta de los símbolos siempre señala al que menos cantidad de cosas representa. El símbolo > se conoce como “mayor qué”, y al símbolo < se le denomina “menor qué”.

Ejemplo 3.

10>8, Nos dice que 10 es mayor que 8, porque 10 representa más cosas que 8.

Ejemplo 4.

8<10, Nos dice que 8 es menor que 10, porque 8 representa menos cosas que 10.

La definición de igualdad y desigualdad se puede generalizar explicándolo simbólicamente del siguiente modo:


‒ Simbolos de igualdad y desigualdad.
Símbolo Descripción

a=b

a es igual a b, si a y b representan las mismas cantidades.

a≠b

a no es igual a b, si a y b representan distintas cantidades.

a>b

a es mayor que b, si a representa una cantidad mayor que b.

a<b

a es menor que b, si a representa una cantidad menor que b.



En donde a y b representan cualquier numero natural. Existen otros símbolos de desigualdad que son, el mayor o igual que cuyo símbolo es ≥, y el menor o igual que cuyo símbolo es ≤, en donde:


‒ Otros simbolos de igualdad y desigualdad.
Símbolo Descripción

a≥b

a es mayor o igual que b, si a representa una cantidad mayor o igual a b. Es decir la relación de desigualdad se cumple cuando la cantidad a es igual o en su defecto es mayor que b.


Ejemplos.


4≥3, esta relación se cumple porque 4 es mayor que 3, aunque este no sea igual a 3.

4≥4, esta relación se cumple porque 4 es igual a 4, aunque el primero no sea mayor.

a≤b

a es menor o igual que b, si a representa una cantidad menor o igual a b. Es decir la relación de desigualdad se cumple cuando la cantidad a es igual o en su defecto es menor que b.


Ejemplos.


4≤5, esta relación se cumple porque 4 es menor que 5, aunque este no sea igual a 3.

4≤4, esta relación se cumple porque 4 es igual a 4, aunque el primero no sea menor.



‒ Axiomas de la igualdad y desigualdad.

En los siguientes axiomas las letras a,b y c representan números naturales.


‒ Axiomas.
Axiomas Simbolicamente
1

Axioma 01: Reflexiva. Todo número es igual a sí mismo.

a=a

2

Axioma 02: Simetría. Si un número es igual a otro, éste es igual al primero.

Si a=b, ⇒ b=a.

 3

Axioma 03: Transitiva. Si un número es igual a otro y éste es igual a un tercero, entonces el primero es igual al tercero.

Si a=b y b=c, ⇒ a=c.

4

Axioma 04: Transitiva. Si un número es mayor que otro y éste es mayor que un tercero, entonces el primero es mayor que el tercero.

Si a>b y b>c, ⇒ a>c.

5

Axioma 05: Transitiva. Si un número es menor que otro y éste es menor que un tercero, entonces el primero es menor que el tercero.

Si a<b y b<c, ⇒ a<c.

6

Axioma 06: Transitiva. Si un número es mayor que otro y éste es igual a un tercero, entonces el primero es mayor que el tercero.

Si a>b y b=c ⇒ a>c.

7

Axioma 07: Transitiva. Si un número es menor que otro y éste es igual a un tercero, entonces el primero es menor que el tercero.

Si a<b y b=c ⇒ a<c.

 


El símbolo ⇒ define una implicación es decir significa literalmente la palabra entonces, el séptimo axioma se pudo haber escrito simbólicamente del siguiente modo: “Si a<b y b=c entonces a<c”.


Última revisión: 04/01/2016.



ÍNDICE


 
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