MATEMATICA I

MATEMATICA I

MATEMATICA I


5. DIVISIÓN CON NÚMEROS NATURALES Y DIVISIBILIDAD.
5.4. DIVISIBILIDAD.
5. DIVISIÓN CON NÚMEROS NATURALES Y DIVISIBILIDAD.
5.4. DIVISIBILIDAD.
5. DIVISIÓN CON NÚMEROS NATURALES Y DIVISIBILIDAD.
5.4. DIVISIBILIDAD.
ÍNDICE


‒ ¿Qué es Divisibilidad?

Se conoce como divisibilidad, al grupo de principios que nos permiten saber si un numero es divisible con otro. Un número es divisible con otro cuando la división entre estos números es exacta o es una división posible con números naturales.
Decimos múltiplo al número que contiene a otro numero sumado una cantidad exacta de veces. Es decir, si la división a:b es una división exacta entonces el múltiplo es a.
Por ejemplo, en la siguiente división 24:2, el número 24 es múltiplo de 2, ya que si sumamos 12 veces el número 2 obtendremos el 24. Aquí se puede observar que 12 es la cantidad de veces que se tiene que sumar el 2, para saber si está contenido exactamente en 24. Para hallar los múltiplos de un número, estos simplemente se obtienen multiplicando dicho número por todos los números naturales. Por Ejemplo, los múltiplos de 3 son: 3,6,9,12,15,...
Para expresar simbólicamente que un número es múltiplo de otro numero se puede hacer de los siguientes modos:

`sf "m="dot sf n sf", m=kn"`

En donde m es el múltiplo y n es el otro numero del cual es múltiplo. Esta expresión simbólica, también nos indica que la división entre m y n es exacta.

Ejemplo.

Si 12 es múltiplo de 3, entonces se puede escribir del siguiente modo:


`sf "12="dot sf"3" sf", 12=k3"`

Para expresar simbólicamente que un número no es múltiplo de otro, se suma al numero el residuo, del siguiente modo:

`sf "m=" dot sf"n" sf "+r, m=kn+r"`

Esta expresión simbólica, también se usa para indicar que la división de m entre n, no es exacta.

Ejemplo.

Si 13 no es múltiplo de 3, entonces se escribe del siguiente modo:


`sf "13="dot sf"3" sf"+1, 13=k3+1"`

Decimos que divisor es el número que nos indica la cantidad exacta de veces que un número debe sumarse para estar contenido en otro numero. Es decir, si la división a:b es una división exacta entonces el divisor es b.

Para expresar simbólicamente que un número es divisor de otro se escribe del siguiente modo:

m|n

En donde m es el Divisor y n es el otro número del cual es divisible, esta expresión simbólica nos indica que n entre m es una división exacta.

Ejemplo.

Si 4 es divisor de 24, entonces se escribe del siguiente modo:


4|24

Para hallar los divisores de un número, sólo se deben buscar todos los números que dividen exactamente a ese número.

Ejemplo.

Si queremos hallar los divisores de 8, entonces los números 8,4,2, y 1, son sus divisores, ya que al dividir 8 con estos números se obtiene una división exacta.

De todo lo explicado anteriormente se puede decir entonces que, si un número es Múltiplo de un número natural, entonces este número natural será divisor del Múltiplo de ese numero natural.

Ejemplo.

Si 24 es múltiplo de 2, entonces 2 es divisor de 24. Simbólicamente tenemos:


`sf "24=" dot sf "2" rArr sf"2|24"`

‒ Teoremas de la divisibilidad.

Los principios que permiten saber si un número es divisible exactamente por otro, se expresan por los siguientes teoremas:


‒ Teoremas
Teorema Simbólicamente

1

Si un número es divisor de varios números entonces es divisor de la suma de estos números.

Si n|a, n|b, n|c => n|a+b+c

2

Si varios números no son múltiplo de un mismo número, pero la suma de sus residuos es múltiplo de ese número, entonces la suma de esos números será también múltiplo de ese mismo número.

Si a=ṅ+r1, b=ṅ+r2, c= ṅ+r3, r1+r2+r3=ṅ

=> a+b+c= ṅ

3

De varios números, la suma y uno de ellos no es múltiplo de un número, entonces el residuo de la suma de esos números es igual al residuo del número que no puede dividirse.

Si a=ṅ, b=ṅ, c=ṅ+r1, a+b+c=ṅ+r2

=> r1=r2

4

Si un número es múltiplo de un número, entonces todos los múltiplos de ese número serán múltiplos del otro.

Si a=ṅ, a1=å, a2=å, a3=å

=> a1=ṅ, a2=ṅ, a3=ṅ

5

Si dos números son múltiplos de un numero, entonces la suma, resta y multiplicación son múltiplos de ese número.

Si a=ṅ, b=ṅ

=> a+b=ṅ, ab=ṅ, a-b=ṅ<-> a>b

6

Si dos números no son múltiplos de un numero, pero sus residuos son iguales entonces la resta y multiplicación son múltiplos de ese número.

Si a=ṅ+r1, b=ṅ+r2, r1=r2

=> ab=ṅ, a-b=ṅ ↔ a>b

7

Si de dos números uno de ellos es múltiplo y el otro no, de un numero entonces la suma de los dos números no será múltiplo de ese número.

Si a=ṅ, b=ṅ+r1

=> a+b=ṅ+r1

8

De una división inexacta, si el dividendo y el denominador, son múltiplos de un número, entonces el residuo es múltiplo de ese número.

Si a=bc+r, a=ṅ, b= ṅ => r=ṅ
9

De una división inexacta, si el denominador y el residuo son múltiplos de un número, entonces el dividendo es múltiplo de ese número.

Si a=bc+r, b=ṅ, r= ṅ => a=ṅ






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