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MATEMATICA I

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7. NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS.
7.4. RAÍCES POR DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO EN FACTORES PRIMOS.
7. NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS.
7.4. RAÍCES POR DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO EN FACTORES PRIMOS.
7. NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS.
7.4. RAÍCES POR DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO EN FACTORES PRIMOS.
ÍNDICE


‒ Raíces por descomposición de un número en factores primos.

Hallar la raíz de un número no es una tarea sencilla, en este apartado se explicará un algoritmo que nos permite hallar la raíz de un número, siempre y cuando la raíz sea exacta. El siguiente algoritmo se basa en aplicar los siguientes teoremas :

  1. "La radicación de un producto es igual a la radicación de los factores por separado."
  2. "La radicación de una potencia es igual a la base de la potencia elevado a la división del exponente con el índice de la radicación."

Aquí el algoritmo :

  1. Se descompone el radicando en sus factores primos.
  2. Se expresa el radicando en una multiplicación de potencias.
  3. Se separan los potencias en radicaciones por separado.
  4. Se operan las raíces por separado.
  5. Se multiplican los factores que quedan.
Ejemplo 1.

Hallar la raíz cuadrada por descomposición en factores primos de 900.

1. Se descompone 900 en factores primos

900 2
450 2
225 3
75 3
25 5
5 5
1  

2. Se expresa 900 en una multiplicación de potencias

`sqrt(sf"900")=sqrt(sf"2"^sf"2"xxsf"3"^sf"2"xxsf"5"^sf"2")`

sqrt(900)= sqrt(2^2 x 3^2 x 5^2)

3. Se separan las potencias en radicaciones por separado.

`sqrt(sf"900")=sqrt(sf"2"^sf"2")xxsqrt(sf"3"^sf"2")xxsqrt(sf"5"^sf"2")`

sqrt(900) = sqrt(2^2) x sqrt(3^2) x sqrt(5^2)

4. Se operan las raíces por separado.

`sqrt(sf"900")=sf"2"xxsf"3"xxsf"5"`

sqrt(900) = 2 x 3 x 5

5. Se multiplican los factores que quedan y obtenemos

`sqrt(sf"900")=sf"30"`

sqrt(900) = 30

Cuando la raíz no es exacta entonces se suele dejar indicado el factor que tiene una radicación.

Ejemplo 2.

Hallar la raíz cuarta por descomposición en factores primos de 648.

1. Se descompone 648 en factores primos

648 2
324 2
162 2
81 3
27 3
9 3
3 3
1  

2. Se expresa 648 en una multiplicación de potencias

`root(sf"4")sf"648"=root(sf"4")(sf"2"^sf"3"xxsf"3"^sf"4")`

root(4)(648) = root(4)(2^3 x 3^4)

3. Se separan las potencias en radicaciones por separado.

`root(sf"4")sf"648"=root(sf"4")(sf"2"^sf"3")xxroot(sf"4")(sf"3"^sf"4")`

root(4)(648) = root(4)(2^3) x root(4)(3^4)

4. Se operan las raíces por separado.

`root(sf"4")sf"648"=root(sf"4")(sf"2"^sf"3")xxsf"3"`

root(4)(648) = root(4)(2^3) x 3

5. Se multiplican los factores que quedan y obtenemos

`root(sf"4")sf"648"=sf"3"xxroot(sf"4")(sf"8")`

root(4)(648)=3 x root(4)(8)

6. Debido a que la raíz cuarta de 8 es una raíz con residuo, entonces este sólo quedara indicada. Esto también se puede expresar sin el símbolo de multiplicación:

`root(sf"4")sf"648"=sf"3"root(sf"4")(sf"8")`

root(4)(648) = 3 root(4)(8)




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