MATEMATICA I

Se conoce como producto cartesiano al conjunto de todas las tuplas que se puedan obtener con los elementos de varios conjuntos. Una tupla es una secuencia ordenada de los elementos de un producto cartesiano o cualquier entidad matemática. Cuando una tupla esta formada sólo con dos elementos se le conoce como par ordenado ó dupla.

El producto cartesiano de dos conjuntos, es el conjunto de todos los pares ordenados que se pueden obtener con los elementos de dos conjuntos. Un par ordenado o una tupla de dos elementos, estará compuesto por un primer elemento de un conjunto y un segundo elemento de otro conjunto. Un par ordenado se escribe encerrando los elementos entre paréntesis y separados por una coma. Es decirdado dos conjuntos A y B, el producto cartesiano estará formado por los pares ordenados (a,b) en donde el primer elemento a pertenece al Conjunto A y el segundo elemento b pertenece al conjunto B. Expresado simbólicamente tenemos:

A x B = {(a,b)/ a ∈ A y b ∈ B}

En donde nos dice que el producto cartesiano de AxB, esta formado por los pares ordenados (a,b), tal que el primer elemento a pertenece al conjunto B y el segundo elemento b pertenece al conjunto B.

Ejemplo 1.

Si A={3,4} y B={1,3,8} y C={3,8,9}, hallar (A x B) ⋂ (B x C).

Hallamos el producto cartesiano de AxB ={(3,1),(3,3),(3,8),(4,1),(4,3),(4,8)}

Hallamos el producto cartesiano de BxC={(1,3),(1,8),(1,9),(3,3),(3,8),(3,9),(8,3),(8,8),(8,9)}

Ahora hallamos la intersección de (A x B) ⋂ (B x C) = {(3,3),(3,8)}

La representación gráfica de un producto cartesiano se puede hacer con una tabla cartesiana, diagrama de flechas, diagrama cartesiano o un diagrama de árbol.

Ejemplo 2.

Sea A={3,4} y B={5,6,7}, representar gráficamente el producto cartesiano de AxB, con una tabla cartesiana, un diagrama de flechas, diagrama cartesiano y un diagrama de árbol. Hallamos el producto cartesiano de A x B ={(3,5),(3,6),(3,7),(4,5),(4,6),(4,7)}

Tabla cartesiana:

Diagrama con flechas:

Diagrama cartesiano:

Diagrama de árbol:

Para productos cartesianos de más de dos conjuntos, las tuplas estarán formadas por más de dos elementos, y en estos se suelen nombrar del siguiente modo. Para 3 elementos 3-tupla, tripla, tripleta, terna o triada, para 4 elementos 4-tupla o cuádrupla, para 5 elementos 5-tupla o quíntupla, para 6 elementos 6-tupla o sixtupla, para 7 elementos 7-tupla o septupla, para 8 elementos 8-tupla o octupla, para 9 elementos 9-tupla y asi sucesivamente.

Ejemplo 3.

Sea A={3,4}, B={5,7} y C={1,2} representar gráficamente el producto cartesiano de AxBxC, con una tabla cartesiana, un diagrama de flechas, diagrama cartesiano y un diagrama de árbol. Hallamos el producto cartesiano de AxBxC={(3,5,1)(3,5,2)(3,7,1)(3,7,2)(4,5,1)(4,5,2)(4,7,1)(4,7,1)}

Tabla cartesiana:

Diagrama con flechas:

Diagrama cartesiano (En perspectiva):