MATEMATICA I

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11. NÚMEROS ENTEROS.
11.2. RELACIONES DE IGUALDAD Y DESIGUALDAD EN LOS NÚMEROS ENTEROS.
11. NÚMEROS ENTEROS.
11.2. RELACIONES DE IGUALDAD Y DESIGUALDAD EN LOS NÚMEROS ENTEROS.
11. NÚMEROS ENTEROS.
11.2. RELACIONES DE IGUALDAD Y DESIGUALDAD EN LOS NÚMEROS ENTEROS.
ÍNDICE


‒ Igualdad y desigualdad.

Al igual que los números naturales también los números enteros se pueden comparar. Pero decimos que dos números enteros son iguales si representan la misma cantidad de cosas y tienen el mismo signo. Es decir 4 puede representar 4 objetos y -4 también puede representar 4 objetos, pero ambos no son iguales ya que el 4 representa algo que uno tiene y el -4 algo que uno no tiene, eso hace que los números 4 y -4 sean diferentes o no iguales. Es decir 4≠-4.

Ejemplo 1.

Si en una cesta de manzanas, después de contarlas obtenemos que hay 8 manzanas y en otra cesta de manzanas, después de contarlas obtenemos que hay 8 manzanas, entonces decimos que ambas cestas tienen la misma cantidad de manzanas, entonces decimos que 8 es igual a 8. Usando el símbolo igual se escribe 8=8.

Ejemplo 2.

Si en una cesta de manzanas, después de contarlas obtenemos que hay 8 manzanas demás y en otra cesta de manzanas, después de contarlas obtenemos que faltan 8 manzanas, que se representa con -8, entonces decimos que ambas cestas no tienen la misma cantidad de manzanas, y que 8 no es igual a -8. Usando el símbolo de desigualdad se escribe 8≠-8.

Como sucedía con los números naturales en los números enteros, a las cantidades que se comparan para saber si son iguales o desiguales se les llama miembros de la igualdad o desigualdad, siendo el primer miembro la cantidad que esta a la izquierda del símbolo de la igualdad o desigualdad y segundo miembro a la cantidad que esta a la derecha.

Para representar la desigualdad con números enteros también se usan los símbolos >, <, pero con una clara diferencia. Ya que se debe tener en cuenta a los números negativos. Y como se menciono anteriormente que todo número negativo es menor que cero, entonces esto nos dice que cualquier número negativo es menor que cualquier número positivo, o cualquier número positivo es mayor que cualquier número negativo.

Ejemplo 3.

3>-3

4>-2

0>-1

-2<5

-3<0

-19<19

Si queremos saber si un número positivo es mayor o igual que otro número positivo se hace igual que los números naturales. Pero con los números negativos es distinto. Si queremos saber si un número negativo es mayor o menor que otro número negativo, entonces se dice que es menor el número negativo, que sin considerar el signo, representa una cantidad mayor que la otra, y es mayor si el número negativo al no considerar el signo, es menor que la otra cantidad a comparar.

Ejemplo 4.

-3<-1, porque, si consideramos a los números sin signo 3>1

-5>-15, porque, si consideramos a los números sin signo 5<15

-3<-2, porque, si consideramos a los números sin signo 3>2

-5>-8, porque, si consideramos a los números sin signo 5<8

También se dice que un número negativo es mayor que otro cuando este esta más cerca al 0, según la recta numérica o es menor que otro cuando este se aleja del 0, según la recta numérica. La definición de igualdad y desigualdad se puede generalizar explicándolo simbólicamente del siguiente modo:


‒ Símbolos de igualdad y desigualdad.
Símbolo Descripción

a=b

a es igual a b, si a y b representan las mismas cantidades.

a≠b

a no es igual a b, si a y b representan distintas cantidades.

a>b

a es mayor que b, si a representa una cantidad mayor que b.

a<b

a es menor que b, si a representa una cantidad menor que b.



En donde a y b representan cualquier numero entero. Existen otros símbolos de desigualdad que son, el mayor o igual que cuyo símbolo es ≥, y el menor o igual que cuyo símbolo es ≤, en donde:


‒ Otros símbolos de igualdad y desigualdad.
Símbolo Descripción

a≥b

a es mayor o igual que b, si a representa una cantidad mayor o igual a b. Es decir la relación de desigualdad se cumple cuando la cantidad a es igual o en su defecto es mayor que b.


Ejemplos.


4≥3, esta relación se cumple porque 4 es mayor que 3, aunque este no sea igual a 3

4≥4, esta relación se cumple porque 4 es igual a 4, aunque el primero no sea mayor.

-1≥-3, esta relación se cumple porque -1 es mayor que -3, aunque este no sea igual.

-2≥-2, esta relación se cumple porque -2 es igual a -2, aunque el primero no sea mayor.


a≤b

a es menor o igual que b, si a representa una cantidad menor o igual a b. Es decir la relación de desigualdad se cumple cuando la cantidad a es igual o en su defecto es menor que b.


Ejemplos.


4≤5, esta relación se cumple porque 4 es menor que 5, aunque este no sea igual a 5

4≤4, esta relación se cumple porque 4 es igual a 4, aunque el primero no sea menor.

-9≤-5, esta relación se cumple porque -9 es menor que -5, aunque este no sea igual a -5

-4≤-4, esta relación se cumple porque -4 es igual a -4, aunque el primero no sea menor.



‒ Axiomas de la igualdad y desigualdad.

Los siguientes axiomas son los mismos de los números naturales pero con la diferencia de que las letras a,b y c representan ahora números enteros.


‒ Axiomas
Axiomas Simbolicamente

Reflexiva.

1

Axioma 01: Todo número es igual a sí mismo.

a=a

Simetría.

2

Axioma 02: Si un número es igual a otro, éste es igual al primero.

Si a=b, ⇒ b=a.

Transitiva.

3

Axioma 03: Si un número es igual a otro y éste es igual a un tercero, entonces el primero es igual al tercero.

Si a=b y b=c, ⇒ a=c.
4

Axioma 04: Si un número es mayor que otro y éste es mayor que un tercero, entonces el primero es mayor que el tercero.

Si a>b y b>c, ⇒ a>c.
5

Axioma 05: Si un número es menor que otro y éste es menor que un tercero, entonces el primero es menor que el tercero.

Si a<b y b<c, ⇒ a<c.
6

Axioma 06: Si un número es mayor que otro y éste es igual a un tercero, entonces el primero es mayor que el tercero.

Si a>b y b=c ⇒ a>c.
7

Axioma 07: Si un número es menor que otro y éste es igual a un tercero, entonces el primero es menor que el tercero.

Si a<b y b=c ⇒ a<c.




Última revisión: 04/01/2016.



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