MATEMÁTICAS
 
 
 
Matemática 1

MATEMÁTICA I

 
 

 

12.1. Adición con números enteros.

 

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12.1. Adición con números enteros.

12.2. Diferencia y opuesto de números enteros.

 

 

12.3. Adición de números enteros grandes.

12.4. Valor Absoluto.

 

 

 

Adición con números enteros.

 

La adición con los números enteros es una operación en la que se considera a la sustracción o resta, como una operación particular. Es decir no se considera a la sustracción o resta como una operación en los números enteros, ya que los números negativos cumplen el papel de indicar dentro de una operación de adición con números enteros, que esa cantidad debe ser restada o sustraída. Cuando se quiere sumar o adicionar números enteros, estos simplemente se escriben con su signo correspondiente para realizar la operación.

Pero antes de aprender a sumar varios números enteros, debemos aprender a sumar dos números enteros, y para ello se dan los siguientes algoritmos o procedimientos:

  1. Si los dos números enteros tienen el mismo signo, entonces se suman los números como si fuera una adición normal y se coloca al mismo resultado el signo de estos números.
  2. Si los dos números enteros tienen distinto signo, entonces se comparan los números sin tomar en cuenta su signo y se resta o sustrae el número mayor del menor, y al resultado se le coloca el signo que le corresponde al número mayor que se escogió sin considerar su signo.
  3. Si los dos números enteros tienen distinto signo y son iguales sin considerar el signo entonces el resultado será 0.

Ejemplo 1.

 

Sumar los siguientes números enteros del mismo signo: -5 y -3, +5 y +5, -3 y -3.

 

-5-3=-8

+5+5=+10

-3-3=-6

 

Como se puede observar no es necesario colocar el signo más cuando se suman dos números negativos, es decir -5-3=-8, se pudo escribir como -5+-3=-8, de igual modo -3-3=-6 se pudo escribir como -3+-3=-6.

 

Ejemplo 2.

 

Sumar los siguientes números enteros con signos distintos: -5 y 3, 9 y -3, -8 y 2, 2 y -5.

 

-5+3=-2 , se resta 5 de 3, y se toma el signo -, porque 5 es mayor que 3

9-3=6, se resta 9 de 3, y se toma el signo +, porque 9 es mayor que 3

-8+2=-6, se resta 8 de 2, y se toma el signo -, porque 8 es mayor que 2

2-5=-3, se resta 5 de 2, y se toma el signo -, porque 5 es mayor que 2

 

Tal como se puede observar no es necesario colocar el signo + cuando se suman dos números enteros de signos distintos, es decir 2-5=-3, se pudo escribir como 2+-5=-3.

 

Ejemplo 3.

 

sumar los siguientes números enteros con signos distintos: -5 y 5, 9 y -9.

 

-5+5=0

9-9=0

 

Tal como se puede observar si ambos números son iguales sin considerar el signo entonces el resultado será 0.

 

Para adicionar o sumar varios números enteros simplemente escribimos los números con sus signos correspondientes, y comenzamos a adicionar tomando de dos en dos, desde la izquierda hacia la derecha.

 

Ejemplo 4.

 

Sumemos los siguientes números 2,-3,4,-15,2,1.

 

Escribimos los números con sus signos de izquierda a derecha del siguiente modo: 2-3+4-15+2+1. Podemos evitar poner el signo + al 2 por ser el primero, y operamos de izquierda a derecha según el signo:

 

Adición números enteros

 

Si observamos bien en el ejemplo anterior, el signo + del número indica que ese número debe sumarse al que esta a su izquierda y el signo – del número indica que ese número debe restarse del que esta a su izquierda.

 

Ejemplo 5.

 

Sumemos los siguientes números enteros: 4,5,-2,-1

 

Escribimos los números con sus signos de izquierda a derecha del siguiente modo: 4+5-2-1. Podemos evitar poner el signo + al 4 por ser el primero, y operamos de izquierda a derecha según el signo:

 

4+5-2-1=9-2-1=7-1=6

 

Ejemplo 6.

 

Sumemos los siguientes números enteros: 4,-5,-2,-1

 

4-5-2-1=-1-2-1=-3-1=-4

 

Ejemplo 7.

 

Jorge se fue a jugar a un parque y encontró S/. 5 PEN, después en otro parque encontró S/. 3 PEN, y en otro parque encontró S/. 2 PEN. ¿Cuánto dinero encontró?

 

5+3+2=10, entonces Jorge encontró S/. 10 PEN.

 

Cuando sumamos números negativos se debe tener en cuenta el signo. Es decir los números negativos generalmente representan la ausencia de una cantidad, y si sumamos esas cantidades el resultado de esta suma debe representar también esa ausencia, y eso se hace con el signo.

 

Ejemplo 8.

 

Jorge perdió S/. 5 PEN al jugar en un parque, después en otro parque perdió S/. 3 PEN, y finalmente en otro parque perdió S/. 2 PEN. ¿Cuánto dinero perdió?

 

-5-3-2=-10, entonces Jorge perdió S/. -10 PEN

 

Axiomas de la adición.

 

En los siguientes axiomas las letras a,b y c representan números enteros.

 

  Axiomas Simbólicamente
 

Conmutativa.

 

 

1

 

Axioma 01: El orden de los números enteros en la adición no altera su resultado.

 

Ejemplo:

 

5+4+3=4+3+5

4-3+6-1=-1+6+4-3

 

a+b+c=c+a+b

 

 

2

 

Asociativa.

 

Axioma 02: La suma de varios números enteros no varía sustituyendo varios números enteros por su suma.

 

Ejemplo 1:

 

8+9+10=17+10, se sustituyen los sumandos 8 y 9, por su adición 8+9=17.

 

Ejemplo 2:

 

9+(5-3)=(9+5)-3=9+2=14-3=11

 

En este ejemplo se usan los signos de agrupación (), para indicar la sustitución de los sumandos por su suma.

 

 

 

a+b+c=(c+a)+b

 

 

3

Disociativa.

 

Axioma 03: La adición de varios números enteros no se altera al reemplazar uno o más números de forma que la adición de los nuevos números enteros sea igual a la primera.

 

Ejemplo 1:

 

Si 8=5+3, entonces 4+8+9=4+(5+3)+9

 

Ejemplo 2:

 

Si 3=5-2, entonces 4+3+9=4+(5-2)+9

 

 

Si a=b+c, ⇒ m+a+n=m+(b+c)+n

 

 

4

Elemento neutro.

 

Axioma 04: Existe sólo un numero entero el cero, que al sumar con otro número entero no altera el resultado de la suma.

 

Ejemplo 1:

 

8+0=8.

 

Ejemplo 2:

 

8+6+9+0=23

 

Ejemplo 3:

 

5-0=5

 

Ejemplo 4:

 

3-5+6-0=4

 

 

 

0+a=a

 

 

5

Clausura.

 

Axioma 05: Cuando se adicionan números enteros el resultado es siempre otro número entero.

 

Ejemplo 1:

 

8+15=23.

 

Ejemplo 2:

 

3-5=-2

 

 

 

a+b=c

 

 

6

Uniforme.

 

Axioma 06: La suma de números enteros iguales son también iguales.

 

Ejemplo 1:

 

8=8 y 7=7, entonces 8+7=8+7

 

Ejemplo 2:

 

-5=-5 y 3=3, entonces -5+3=-5+3

 

Ejemplo 3:

 

4=4 y -3=-3, entonces 4-3=4-3

 

 

 

Si a=b y c=d, ⇒ a+c=b+d

7

Axioma 07: Si a ambos miembros de una igualdad se le suma el mismo numero, la igualdad se mantiene.

 

Ejemplo1:

 

8=8, entonces 8+5=8+5

 

Ejemplo 2:

 

-3=-3, entonces -3+2=-3+2

 

Ejemplo 3:

 

5=5, entonces 5-3=5-3

 

Si a=b, ⇒ a+c=b+c

 

 

8

Monotonía.

 

Axioma 08: Cuando se suma un número a cada miembro de una desigualdad, la desigualdad se mantiene.

 

Ejemplo1:

 

8<9, entonces 8+5<9+5

 

Ejemplo2:

 

4>2, entonces 4+2>2+2

 

Ejemplo 3:

 

-3<2, entonces -3-2<2-2

 

Ejemplo 4:

 

-5>-2, entonces -5+1>-2+1

 

 

 

Si a>b ⇒ a+c>b+c

Si a<b ⇒ a+c<b+c

9

Axioma 09: Cuando se suman miembro a miembro dos desigualdades del mismo sentido, se obtiene otra desigualdad del mismo sentido.

 

Ejemplo1:

 

8<9 y 3<5, entonces 8+3<9+5

 

Ejemplo2:

 

2>1 y 5>3, entonces 2+5>1+3

 

Ejemplo 3:

 

-3<2 y -2<1, entonces -3-2<2+1

 

Ejemplo 4:

 

-2>-5 y 5>2, entonces -2+5>-5+2

Si a>b y c>d, ⇒ a+c>b+c

Si a<b y c<d, ⇒ a+c<b+c

 

 

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