MATEMÁTICAS
 
 
 
Matemática 1

MATEMÁTICA I

 
 

 

13.1. Multiplicación con números enteros.

 

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13.1. Multiplicación con números enteros.

13.2. Multiplicación de números enteros grandes.

 

 

13.3. División con números enteros.

13.4. División de números enteros grandes.

 

 

 

Multiplicación con números enteros.

 

La multiplicación con números enteros es muy similar a la multiplicación con números naturales, excepto por el uso de los signos. Para poder multiplicar números enteros debemos conocer la regla de los signos, que es un pequeño algoritmo, y consiste sólo en la siguiente regla: Al multiplicar dos números enteros, se multiplican estos sin considerar el signo de estos, después se evalúan los signos del siguiente modo: Si ambos números tienen el mismo signo entonces el resultado tendrá signo positivo en caso contrario el resultado tendrá un signo negativo. Esto se puede resumir en la siguiente tabla:

 

-

x

-

=

+

+

x

+

=

+

-

x

+

=

-

+

x

-

=

-

 

Ejemplo 1.

 

Multiplicar los siguientes números: 4x-5x6x-8.

 

4x-5=-20 entonces nos queda multiplicar -20x6x-8

-20x6=-120 entonces nos queda multiplicar -120x-8

-120x-8=960 que es el resultado final.

 

Ejemplo 2.

 

Juan gasta S/ 3.-, en pasaje para ir a trabajar en 5 días. ¿Cuánto gastará en esos 5 días?

 

-3 representa lo que se gastará en un día y 5 representa los días en que va a trabajar Juan. Entonces -3x5=-15. Gasto S/. -15.-

 

Ejemplo 3.

 

Juan gasta S/ 3.- en pasaje para ir a trabajar en 5 días, pero se enferma y no va a trabajar. ¿Cuánto dinero no gasto en esos días?

 

-3 representa lo que se gastará en un día y -5 representa los días en que Juan no va a trabajar. Entonces -3x-5=15. No gasto S/. 15.-

 

Axiomas de la multiplicación.

 

En los siguientes axiomas las letras a,b y c representan números enteros.

 

 

Axiomas

Simbólicamente

 

 

1

Elemento neutro.

 

Axioma 01: Existe sólo un numero entero el uno, que al multiplicar con otro número entero no altera el resultado de la multiplicación.

 

Ejemplo 1: 8·1=8.

Ejemplo 2: -8·1=-8.

 

 

 

a·1=a

 

 

2

Elemento cero.

 

Axioma 02: Existe sólo un numero natural el cero, que al multiplicar con otro número natural el resultado será cero.

 

Ejemplo 1: 5·0=0

Ejemplo 2: -5·0=0

 

 

a·0=0

 

 

3

Clausura.

 

Axioma 03: Cuando se multiplican números enteros el resultado es siempre otro número entero.

 

Ejemplo 1: 23·9=207.

Ejemplo 2: -5·9=-45

 

 

a·b=c

 

 

4

 

 

 

 

 

5

Uniforme.

 

Axioma 04: La multiplicación de números iguales son también iguales.

 

Ejemplo 1: 8=8 y 7=7, entonces 8·7=8·7

Ejemplo 2: -2=-2 y 5=5, entonces -2·5=-2·5

 

Axioma 05: Si a ambos miembros de una igualdad se le multiplica el mismo numero, la igualdad se mantiene.

 

Ejemplo1: 8=8, entonces 8x5=8x5

Ejemplo2: -3=-3, entonces -3x5=-3x5

 

 

Si a=b y c=d, => a·c=b·d

 

 

 

 

 

Si a=b, => a·c=b·c

 

 

6

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

9

Monotonía.

 

Axioma 06: Cuando se multiplica un número positivo a cada miembro de una desigualdad, la desigualdad se mantiene.

 

Ejemplo1: 8<9, entonces 8x5<9x5

Ejemplo2: 4>2, entonces 4x2>2x2

 

Axioma 07: Cuando se multiplica un número negativo a cada miembro de una desigualdad, la desigualdad se invierte.

 

Ejemplo1: 8<9, entonces 8x-5<9x-5

Ejemplo2: 4>2, entonces 4x-2>2x-2

 

Axioma 08: Cuando se multiplica miembro a miembro dos desigualdades mayor que, se obtiene otra desigualdad del mismo sentido, siempre y cuando ambos miembros sean mayor que 0.

 

Ejemplo1: 2>1 y 5>3, entonces 2·5>1·3, si y sólo si 2>1>0 y 5>3>0

 

Axioma 09: Cuando se multiplica miembro a miembro dos desigualdades menor que, se obtiene otra desigualdad del mismo sentido, siempre y cuando ambos miembros sean mayor que 0.

 

Ejemplo1: 8<9 y 3<5, entonces 8·3<9·5, si y sólo si 0<8<9 y 0<3<5.

 

 

Si a>b, => a·c>b·c ↔ c>0

Si a<b, => a·c<b·c ↔ c>0


Si a>b, => a·c<b·c ↔ c<0

Si a<b, => a·c>b·c ↔ c<0

 

Si a>b y c>d, => a·c>b·d ↔ a>b>0 y c>d>0

 

 

 

Si a<b y c<d, => a·c<b·d ↔ 0<a<b y 0<c<d

 

 

10

Conmutativa.

 

Axioma 10: El orden de los factores no altera el resultado de la multiplicación.

 

Ejemplo 1: 5·-4·3=-4·3·5

 

 

a·b·c=b·c·a

 

 

11

Asociativa.

 

Axioma 11: La multiplicación de varios números no varía sustituyendo varios factores por su multiplicación.

 

Ejemplo 1: 8·-3·10=8·-30, se sustituyen los factores -3 y 10, por su multiplicación -3·10=-30.

Ejemplo 2: 9·(-5·3)=(9·-5)·3=9·-15=-45·3=-135

 

En este ejemplo se usan los signos de agrupación (), para indicar la sustitución de los factores por su multiplicación

 

 

a·b·c=(c·a)·b

 

 

12

Disociativa.

 

Axioma 12: La multiplicación de varios números no se altera al reemplazar uno o más factores de forma que la multiplicación de los nuevos factores sea igual a la primera.

 

Ejemplo 1: Si -15=-5·3, entonces 3·-15·2=3·(-5·3)·2

 

 

Si a=b·c,

=> m·a·n=m·(b·c)·n

 

 

13

Distributiva.

 

Axioma 13: Un número multiplicado por la suma de dos números, es igual a la suma de los productos de cada sumando de la suma, por ese número.

 

Ejemplo 1: 4(5+3)=4·5+4·3

Ejemplo 2: -4(5+3)=-4·5+-4·3

Ejemplo 3: 4(5-3)=4·5-4·3

Ejemplo 4: -2(2-9)=-2·2-2·-9

 

 

a(b+c)=a·b + a·c

a(b-c)=a·b-a·c, ↔ b>c

 

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