MATEMATICA I

MATEMATICA I

MATEMATICA I


13. MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN CON NÚMEROS ENTEROS.
13.1. MULTIPLICACIÓN CON NÚMEROS ENTEROS.
13. MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN CON NÚMEROS ENTEROS.
13.1. MULTIPLICACIÓN CON NÚMEROS ENTEROS.
13. MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN CON NÚMEROS ENTEROS.
13.1. MULTIPLICACIÓN CON NÚMEROS ENTEROS.
ÍNDICE


‒ Multiplicación con números enteros.

La multiplicación con números enteros es muy similar a la multiplicación con números naturales, excepto por el uso de los signos. Para poder multiplicar números enteros debemos conocer la regla de los signos, que es un pequeño algoritmo, y consiste sólo en la siguiente regla: Al multiplicar dos números enteros, se multiplican estos sin considerar el signo de estos, después se evalúan los signos del siguiente modo: Si ambos números tienen el mismo signo entonces el resultado tendrá signo positivo en caso contrario el resultado tendrá un signo negativo. Esto se puede resumir en la siguiente tabla:

-x-=+
+x+=+
-x+=-
+x-=-
Ejemplo 1.

Multiplicar los siguientes números: 4x-5x6x-8.


4x-5=-20 entonces nos queda multiplicar -20x6x-8

-20x6=-120 entonces nos queda multiplicar -120x-8

-120x-8=960 que es el resultado final.

Ejemplo 2.

Juan gasta S/ 3.-, en pasaje para ir a trabajar en 5 días. ¿Cuánto gastará en esos 5 días?


-3 representa lo que se gastará en un día y 5 representa los días en que va a trabajar Juan. Entonces -3x5=-15. Gasto S/. -15.-

Ejemplo 3.

Juan gasta S/ 3.- en pasaje para ir a trabajar en 5 días, pero se enferma y no va a trabajar. ¿Cuánto dinero no gasto en esos días?


-3 representa lo que se gastará en un día y -5 representa los días en que Juan no va a trabajar. Entonces -3x-5=15. No gasto S/. 15.

‒ Axiomas de la multiplicación.

En los siguientes axiomas las letras a,b y c representan números enteros.


‒ Axiomas
Axiomas Simbólicamente

Elemento neutro.

 

1

Axioma 01: Existe sólo un numero entero el uno, que al multiplicar con otro número entero no altera el resultado de la multiplicación.

Ejemplo 1: 8·1=8.

Ejemplo 2: -8·1=-8.

a·1=a

Elemento cero.

2

Axioma 02: Existe sólo un numero natural el cero, que al multiplicar con otro número natural el resultado será cero.

Ejemplo 1: 5·0=0

Ejemplo 2: -5·0=0

a·0=0

Clausura.

3

Axioma 03: Cuando se multiplican números enteros el resultado es siempre otro número entero.

Ejemplo 1: 23·9=207.

Ejemplo 2: -5·9=-45

a·b=c

Uniforme.

4

Axioma 04: La multiplicación de números iguales son también iguales.

Ejemplo 1: 8=8 y 7=7, entonces 8·7=8·7

Ejemplo 2: -2=-2 y 5=5, entonces -2·5=-2·5

Si a=b y c=d, => a·c=b·d 

5

Axioma 05: Si a ambos miembros de una igualdad se le multiplica el mismo numero, la igualdad se mantiene.

Ejemplo1: 8=8, entonces 8x5=8x5

Ejemplo2: -3=-3, entonces -3x5=-3x5

Si a=b, => a·c=b·c

Monotonía.

6

Axioma 06: Cuando se multiplica un número positivo a cada miembro de una desigualdad, la desigualdad se mantiene.

Ejemplo1: 8<9, entonces 8x5<9x5

Ejemplo2: 4>2, entonces 4x2>2x2

Si a>b, => a·c>b·c ↔ c>0

Si a<b, => a·c<b·c ↔ c>0

 
7

Axioma 07: Cuando se multiplica un número negativo a cada miembro de una desigualdad, la desigualdad se invierte.

Ejemplo1: 8<9, entonces 8x-5<9x-5

Ejemplo2: 4>2, entonces 4x-2>2x-2

Si a>b, => a·c<b·c ↔ c<0

Si a<b, => a·c>b·c ↔ c<0

 
 8

Axioma 08: Cuando se multiplica miembro a miembro dos desigualdades mayor que, se obtiene otra desigualdad del mismo sentido, siempre y cuando ambos miembros sean mayor que 0.

Ejemplo1: 2>1 y 5>3, entonces 2·5>1·3, si y sólo si 2>1>0 y 5>3>0

Si a>b y c>d, => a·c>b·d ↔ a>b>0 y c>d>0 

9

Axioma 09: Cuando se multiplica miembro a miembro dos desigualdades menor que, se obtiene otra desigualdad del mismo sentido, siempre y cuando ambos miembros sean mayor que 0.

Ejemplo1: 8<9 y 3<5, entonces 8·3<9·5, si y sólo si 0<8<9 y 0<3<5.

Si a<b y c<d, => a·c<b·d ↔ 0<a<b y 0<c<d

Conmutativa.

10

Axioma 10: El orden de los factores no altera el resultado de la multiplicación.

Ejemplo 1: 5·-4·3=-4·3·5

a·b·c=b·c·a

Asociativa.

11

Axioma 11: La multiplicación de varios números no varía sustituyendo varios factores por su multiplicación.

Ejemplo 1: 8·-3·10=8·-30, se sustituyen los factores -3 y 10, por su multiplicación -3·10=-30.

Ejemplo 2: 9·(-5·3)=(9·-5)·3=9·-15=-45·3=-135

En este ejemplo se usan los signos de agrupación (), para indicar la sustitución de los factores por su multiplicación

a·b·c=(c·a)·b

Disociativa.

12

Axioma 12: La multiplicación de varios números no se altera al reemplazar uno o más factores de forma que la multiplicación de los nuevos factores sea igual a la primera.

Ejemplo 1: Si -15=-5·3, entonces 3·-15·2=3·(-5·3)·2

Si a=b·c,

=> m·a·n=m·(b·c)·n

Distributiva.

13

Axioma 13: Un número multiplicado por la suma de dos números, es igual a la suma de los productos de cada sumando de la suma, por ese número.

Ejemplo 1: 4(5+3)=4·5+4·3

Ejemplo 2: -4(5+3)=-4·5+-4·3

Ejemplo 3: 4(5-3)=4·5-4·3

Ejemplo 4: -2(2-9)=-2·2-2·-9

a(b+c)=a·b + a·c

a(b-c)=a·b-a·c, ↔ b>c






ÍNDICE


 
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