MATEMÁTICAS
 
 
 
Matemática 1

MATEMÁTICA I

 
 

 

13.3. División con números enteros.

 

anterior :: indice :: siguiente

 

13.1. Multiplicación con números enteros.

13.2. Multiplicación de números enteros grandes.

 

 

13.3. División con números enteros.

13.4. División de números enteros grandes.

 

 

 

División con números enteros.

 

Al igual que como se explicó con la división de números naturales, esta es la operación inversa de la multiplicación, en donde se busca un numero (cociente) que nos indique cuantas veces se debe sumar otro numero (denominador) para obtener un número ya conocido (dividendo). Al numero conocido se le llama dividendo, y al numero buscado se le conoce como cociente, y el numero que se debe sumar tantas veces se le conoce como denominador.

 

Ejemplo 1.

 

¿Cuantas veces se necesita sumar el 3 para obtener 12?.

¿Cuántas veces se necesita sumar el -3 para obtener el -12?

 

Como se puede observar si probamos con sumar 4 veces el 3, entonces obtendremos el 12, con lo que el cociente que nos indica cuantas veces sumar el denominador 3, es el 4. Del mismo modo hacemos con los números negativos, si probamos con sumar 4 veces el -3, entonces obtendremos el -12, con lo que el cociente será 4, la cantidad de veces que necesitamos sumar -3.

 

Al igual que la división de números naturales el signo de la división puede ser la barra oblicua /, dos puntos :, o él óbelo ÷. La división con números enteros también se puede escribir del siguiente modo:

 

 

Por otro lado, en la división con números enteros el denominador puede ser un número menor que cero, es decir un número negativo, pero nunca debe ser cero. Es decir:

 

Si a:b=c, entonces b≠0.

 

En la división con números enteros también se cumple que si multiplicamos el denominador con el cociente se obtiene el Dividendo, es decir:

 

Si a:b=c, entonces b·c=a

 

La División con números enteros tampoco es exacta, es decir no siempre es posible encontrar un cociente que nos indique cuantas veces se debe sumar el denominador. Con lo que con los números enteros también existen las divisiones exactas e inexactas. Y la división inexacta se representa igual a la división inexacta de números naturales:

 

a=bc+r,

 

En donde a es el dividendo, b es el denominador, y c el cociente y r el resto o residuo.

 

Ejemplo 2.

 

¿Cuantas veces se necesita sumar el 3 para obtener el 14?

¿Cuantas veces se necesita sumar el -3 para obtener el -14?

 

Como se puede observar, si sumamos 2 veces el 3 obtenemos el 6 (3+3=6), y si sumamos 4 veces el 3 tendremos el 12 (3+3+3+3), el 12 sería el número más cercano al 14, faltando sólo sumar el 2 para obtener el 14, si seguimos buscando encontraremos sólo números mayores al 14. El número 2 que nos falta sumar para obtener el 14 se conoce como resto o residuo, y obviamente 4 sería el cociente.

 

En el caso de los números negativos -3 y -14, el cociente será el 4 y el residuo será negativo y es el -2.

 

En la división con números enteros, la definición de reparto de la división también se aplica tanto con números positivos y negativos. Pero teniendo en cuenta que los números negativos representan cosas que faltan o expresan una cantidad inferior al cero, como por ejemplo la profundidad a la que se sumerge un submarino con respecto al nivel del mar, y en el caso de cosas que faltan el dinero que se debe al banco para pagar una deuda, o la perdida ocasionada por un mal negocio.

 

Ejemplo 3.

 

Una empresa gasto S/. 2000 PEN por concepto de alquiler, mensualmente gasto S/500. Se desea saber ¿En cuantos meses se gasto los S/ 2000?

 

Los gastos de alquiler son de S/. -2000 PEN

Los gastos mensuales son de S/. -500 PEN

 

Lo que tenemos que hacer para obtener la cantidad de meses es hacer la siguiente división -2000 : -500, de donde obtenemos 4, que es la cantidad que podemos sumar 500 para obtener 4.

 

Entonces la respuesta a este problema es que se gastaron los S/ 2000 PEN en 4 meses.

 

Para dividir dos números enteros, se hace uso de la regla de los signos que consiste en el siguiente algoritmo:

 

Al dividir dos números enteros, se dividen estos sin considerar el signo de estos, después se evalúan los signos del siguiente modo: Si ambos números tienen el mismo signo entonces el resultado tendrá signo positivo en caso contrario el resultado tendrá un signo negativo.

 

Esto se puede resumir en la siguiente tabla:

 

-

:

-

=

+

+

:

+

=

+

-

:

+

=

-

+

:

-

=

-

 

Ejemplo 4.

 

Una empresa gasto S/. 2000 PEN por concepto de alquiler en 4 meses ¿Cuanto gasto por cada mes?

 

Los gastos totales de alquiler son S/. -2000 PEN

El tiempo en que se gastaron son : 4 meses

 

Lo que tenemos que hacer es la siguiente división -2000:4, con lo que aplicando la regla de los signos obtenemos -500, que representa la cantidad que se gasta cada mes. Entonces la respuesta es que se gastaron S/. -500 PEN mensualmente.

 

Axiomas de la división.

 

En los siguientes axiomas las letras a,b y c representan números enteros.

 

 

Axiomas

Simbólicamente

1

Axioma 01: Existe sólo un numero entero el uno, que al dividir a otro número entero no altera el resultado de la división. Lo contrario no es posible en los números enteros.

 

Ejemplo 1: 8:1=8.

a:1=a,

1:a no es posible en los números enteros.

2

Axioma 02: Cuando se divide el cero con cualquier otro numero entero el resultado siempre será cero.

 

Ejemplo 1: 0:5=0

0:a=0,

0:0 no es posible.

 

 

3

 

 

 

 

 

4

Uniforme.

 

Axioma 03: Si se dividen dos igualdades miembro a miembro, entonces la igualdad se mantiene. Siempre y cuando los miembros de la segunda igualdad sean diferentes de cero.

 

Ejemplo 1: 8=8 y 4=4, entonces 8:4=8:4

 

Axioma 04: Si se divide una igualdad por cualquier numero entero distinto de cero la igualdad se mantiene.

 

Ejemplo 1: 4=4, entonces 4:2=4:2

 

 

Si a=b y c=d, => a:c=b:d

↔ c≠0 y d≠0

 

 

 

 

Si a=b, => a:c=b:c

↔ c≠0

 

 

5

 

 

 

 

 

6

Monotonía.

 

Axioma 05: Cuando se divide un número positivo a cada miembro de una desigualdad, la desigualdad se mantiene.

 

Ejemplo1: 8<9, entonces 8:5<9:5

Ejemplo2: 4>2, entonces 4:2>2:2

 

Axioma 06: Cuando se divide un número negativo a cada miembro de una desigualdad, la desigualdad se invierte.

 

Ejemplo1: 8<9, entonces 8:-5<9:-5

Ejemplo2: 4>2, entonces 4:-2>2:-2

 

 

Si a<b, => a:c<b:c

Si a>b, => a:c>b:c

↔ c>0 y c≠0

 

 

 

Si a<b, => a:c>b:c

Si a>b, => a:c<b:c

↔ c<0 y c≠0

7

Axioma 07: La suma de dos números enteros, dividido por un numero entero es igual a la suma, de las divisiones de cada sumando por ese número, lo contrario no es posible.

 

Ejemplo 1: (4+8)/2=4/2+8/2=6

Ejemplo 2: (4-5)/2=4/2-5/2=2-5/2

Ejemplo 3: 4/(5-4)≠4/5-4/4

(a+b)/c = a/c+b/c

8

Axioma 08: Si se dividen dos desigualdades de sentidos contrarios, entonces el resultado será una desigualdad con el sentido de la desigualdad que use sus miembros como dividendo. Sólo si todos los números son positivos.

 

Ejemplo 1: 8>4 y 5<6, 8:5>4:6

Ejemplo 2: 9>5 y 1<7, 9:1>5:7

Si a<b y c>d, => a:c<b:d

Si a>b y c<d, => a:c>b:d

↔ a>0, b>0, c>0, d>0

9

Axioma 09: Si se dividen miembro a miembro dos desigualdades del mismo sentido, el resultado será impredecible.

 

Ejemplo 1: 10>2 y 2>1, 10:2>8:1

Ejemplo 2: 24>20 y 8>4, 24:8<20:4

Ejemplo 3: 20<25 y 4<5, 20:4=25:5

Si a<b y c<d, => impredecible

Si a>b y c>d, => impredecible

10

Axioma 10: En una división inexacta, en donde el dividendo es menor que el denominador, el cociente siempre será 0 y el residuo será el Dividendo. Siempre y cuando el denominador sea positivo.

 

Ejemplo 8: 10:15=0 y residuo=10

Ejemplo 9: 256:1589=0 y residuo=256

Ejemplo 10: -48:415=0 y residuo=-48

Si a<b, => a:b=0 y r=a

↔ b>0 y b≠0

 

Delicious

 

anterior :: indice :: siguiente

 

 
 

  SUGERENCIAS