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MATEMATICA I

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14. POTENCIA Y RADICACIÓN CON NÚMEROS ENTEROS.
14.1. POTENCIA CON NÚMEROS ENTEROS.
14. POTENCIA Y RADICACIÓN CON NÚMEROS ENTEROS.
14.1. POTENCIA CON NÚMEROS ENTEROS.
14. POTENCIA Y RADICACIÓN CON NÚMEROS ENTEROS.
14.1. POTENCIA CON NÚMEROS ENTEROS.
ÍNDICE


‒ ¿Qué es la potencia con números enteros?

Al igual que la potencia con números naturales, la potencia con números enteros es la operación que consiste en multiplicar un numero entero tantas veces nos indica otro numero entero, al resultado se denomina potencia, al numero que se va a multiplicar tantas veces se denomina base y al numeo que indica cuantas veces se ha de multiplicar se conoce como exponente. Tal como se muestra a continuación:

ab=c

En donde a es la base, b el exponente y c la potencia, esto se lee o se expresa como: “a elevado a la b es c”. Los potencias con exponentes positivos se le conoce como potencia de números enteros con exponente natural o potencias de exponente natural.

Ejemplo 1.

23=8 se expresa como 2 elevado a la 3 es 8, es decir 2x2x2=8

Las potencias con exponente positivo, nos indica que debemos multiplicar ese numero tantas veces nos indica el exponente, pero en el caso de un exponente negativo, este nos indicara que debemos dividir la unidad o el número 1, con la base tantas veces nos indique el exponente negativo sin considerar su signo.

Ejemplo 2.

2-3=`sf"1"/sf"8"` se expresa como 2 elevado a la -3 es `sf"1"/sf"8"` es decir `sf"1"/(sf"2"xxsf"2"xxsf"2")`=`sf"1"/sf"8"`

Cuando el exponente es negativo se dice entonces que la potencia no tiene solución en los números enteros, pero la potencia de números enteros se puede escribir o dejar indicado de la siguiente forma:

a-b=`sf"1"/sf"a"^sf"b"`
Ejemplo 3.

3-3=`sf"1"/sf"3"^sf"3"` se expresa como 3 elevado a la -3 es `sf"1"/sf"27"` es decir `sf"1"/(sf"3"xxsf"3"xxsf"3")`=`sf"1"/sf"27"`

Cuando se multiplica un numero con otro numero elevado a un exponente negativo, lo que se esta haciendo es dividir el primer numero con el segundo numero elevado a un exponente negativo, pero sin considerar el signo del exponente negativo. Con esto en algunos casos se puede conseguir un numero entero. Es decir:

ab-c=`sf"a"/sf"b"^sf"c"`
Ejemplo 4.

56x2-3 = `sf"56"/sf"2"^sf"3"` = `sf"56"/sf"8"` = 7

Otro modo de expresar o escribir la potencia es usando el símbolo del circunflejo ^, este método es usado mucho con el uso de las computadoras como las hojas de cálculo. Tal como se muestra a continuación:

a^b=c

En donde a es la base, b el exponente y c la potencia, esto se lee o se expresa como: “a elevado a la b es c”.

Ejemplo 5.

2^3=8 se expresa como 2 elevado a la 3 es 8, es decir 2x2x2=8

Ejemplo 6.

3^-3=`sf"1"/sf"3^3"` se expresa como 3 elevado a la -3 es `sf"1"/sf"27"` es decir `sf"1"/(sf"3"xxsf"3"xxsf"3")`

Las potencias conocidas como el cuadrado de un número y el cubo de un número también se usan con números enteros, pero estas expresiones sólo se usan con potencias de exponente natural, lo mismo sucede con la potencia primera de un número.

En las potencias con números enteros cuando la base es negativo se suele encerrar entre paréntesis, para indicar que ese número con su signo se elevará a la potencia indicada en su exponente. Es decir -3 elevado a la 2, se debe escribir del siguiente modo:

(-3)2=-3x-3=9

Si escribiéramos el número negativo sin encerrarlo entre los paréntesis, estaríamos indicando que debemos elevar ese número a la potencia indicada, sin considerar el signo. Es decir,

(-3)2=9 y -32=-9

son dos números diferentes, observe que uno es positivo y el otro negativo. Para determinar más fácilmente el signo de una potencia, se usan los siguientes algoritmos o procedimientos a seguir:

  1. Las potencias de exponente par positivo o negativo son siempre son positivas.
  2. Las potencias de exponente impar positivo o negativo siempre tienen el signo de la base.
Ejemplo 7.

(-2)3=-8

(-2)2=4

-23=-8

-22=-4

(-2)-3=-1/8

(-2)-2=1/4

-2-3=-1/8

-2-2=-1/4

‒ Axiomas y teoremas de la potenciación con números enteros.

En los siguientes teoremas las letras a,b y c representan números enteros.


‒ Axiomas y teoremas.
Axiomas y teoremas Simbólicamente

1

Axioma 01: Clausura. La potenciación de un número entero es siempre otro número entero. Sólo si el exponente es un número natural mayor o igual a cero.

Ejemplo 1: 33=27

Ejemplo 2: (-3)3=-27

Ejemplo 3: 3-3=1/27 no es un número entero

an=c

2

Axioma 02: Elemento neutro. Existe un numero entero 1 positivo, En donde todo numero natural elevado a un exponente 1 es siempre el mismo numero entero.

Ejemplo 1: 21=2.

Ejemplo 2: 81=8.

Ejemplo 3: (-5)1=-5

a1=a

3

Axioma 03: Todo numero entero elevado a un exponente 0 es siempre 1.

Ejemplo 1: 50=1

Ejemplo 2: (-5)0=1

Ejemplo 3: -40=-1 En este ejemplo sólo se esta elevando 4 a la cero, ya que no se esta usando los paréntesis.

a0=1
4

Axioma 04: Si a los dos miembros de una igualdad se elevan al mismo exponente, la igualdad se mantiene.

Ejemplo 1: 55=55

Ejemplo 2: 4-5=4-5

Si a=b ⇒ an=bn ↔ n>0

5

Axioma 05: Si a los dos miembros de una desigualdad se elevan al mismo exponente que no sea cero, la desigualdad se mantiene.

Ejemplo 1: 4>2 entonces 42>22

Ejemplo 2: 3<9 entonces 3-2<9-2

Si a<b ⇒ an<bn ↔ n>0

Si a<=b ⇒ an<=bn ↔ n>0

Si a>b ⇒ an>bn ↔ n>0

Si a>=b ⇒ an>=bn ↔ n>0

6

Axioma 06: Si a los dos miembros de una desigualdad se elevan al mismo exponente menor que cero, la desigualdad se invierte.

Ejemplo 1: 4>2 entonces 4-2<2-2

Ejemplo 2: 3<9 entonces 3-2>9-2

Si a<b ⇒ an>bn ↔ n<0

Si a<=b ⇒ an>=bn ↔ n<0

Si a>b ⇒ an<bn ↔ n<0

Si a>=b ⇒ an<=bn ↔ n<0

7

Teorema 01: La multiplicación de potencias con el mismo exponente es otra potencia de igual exponente y cuya base es la multiplicación de las bases de las potencias que tienen el mismo exponente.

Ejemplo 1: 23 · 23 ·23 = (2·2·2)3 = 512

Ejemplo 2: 2-3 · 2-3 ·2-3 = (2·2·2)-3 = 1/512

an·bn·cn = (a·b·c)n
8

Teorema 02: La división de dos potencias, en donde la segunda potencia es distinto de cero y tienen el mismo exponente es otra potencia de igual exponente y cuya base es la división de las bases de las potencias que tienen el mismo exponente.

Ejemplo 1: 42:22 = (4:2)2 =4

Ejemplo 2: 4-2:2-2 = (4:2)-2 =1/4

an:bn=(a:b)n
9

Teorema 03: La multiplicación de potencias de la misma base con exponentes diferentes, es otra potencia de la misma base en donde su exponente es la suma de los exponentes de las potencias que se multiplican.

Ejemplo 1: 23·2-3·24 = 2(3-3+4)=24=16

am·an·ap=am+n+p

10

Teorema 04: La división de dos potencias de bases iguales, en donde la segunda potencia es distinto de cero, es otra potencia de la misma base en donde su exponente es la diferencia de los exponentes de las potencias que se dividen.

Ejemplo 1: 28:24=2(8-4) = 24 = 16

Ejemplo 2: 28:2-4=2(8--4) = 2(8+4) = 212=4096

am:an=am-n

11

Teorema 05: La potencia de una potencia es otra potencia de igual base y el exponente es la multiplicación de los exponentes de la potencia de una potencia.

Ejemplo 1: (((22)3)1) = 2(2·3·1) = 26=64

Ejemplo 2: (((22)-3)1) = 2(2·3·1) = 2-6=1/64

((am)n)p = am·n·p






ÍNDICE


 
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