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MATEMATICA I

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15. NÚMEROS RACIONALES.
15.1. NÚMEROS RACIONALES.
15. NÚMEROS RACIONALES.
15.1. NÚMEROS RACIONALES.
15. NÚMEROS RACIONALES.
15.1. NÚMEROS RACIONALES.
ÍNDICE


‒ ¿Qué son los números racionales?

Los números racionales son números que representan el cociente de dos números enteros o naturales, usando una linea horizontal tal como lo hacemos para representar las divisiones:

En donde c es el cociente, a el dividendo, b el denominador y b siempre debe ser distinto de cero. A esta forma de representar el cociente de una división también se le conoce como número fraccionario. Cuando usamos las fracciones para representar números racionales generalmente solemos llamar al dividendo como numerador.

Los números racionales se suelen usar para representar cosas que forman parte de algo o un todo. Cuando eso sucede los números racionales pueden ser propios o impropios. Una fracción o racional propio se usa para representar o indicar la cantidad de partes que se toman de una cosa dividido en varias partes. En donde el numerador representa la cantidad tomada y el denominador la cantidad de partes que se pueden tomar.

Ejemplo 1.

Una tienda estaba vendiendo 8 cuadernos, de los cuales Juan compro 3 cuadernos, Erika 2 cuadernos y Cesar 1. Escriba los números racionales que representan la cantidad de cuadernos comprados.


Para representar la cantidad de cuadernos que compraron cada uno como una fracción colocamos como numerador los cuadernos que compraron y como denominador la cantidad de libros que había en la tienda, los número racionales que representan los cuadernos que compraron serían:




Ejemplo 2.

Una pizza se divide en 10 partes iguales y se reparte de la siguiente manera 2 partes para Miguel, 3 partes para Lorenzo y 1 parte para Enrique. Escriba los números racionales que representan la cantidad de partes que le toco a cada uno.


Del mismo modo que el anterior en este caso el numerado serán la cantidad de partes de pizza que recibe cada persona, y el denominador representa la cantidad de partes en que se dividió la pizza.




Una fracción o racional impropia se usa para representar o indicar la cantidad de partes que se toman de dos o mas cosas divididas en varias partes iguales.

Ejemplo 3.

Se tiene 2 pizzas, cada una dividida en 10 partes iguales, de las cuales 15 pedazos se destinan al equipo de fútbol y 5 al equipo de ping pong. Escriba los números racionales que representan la cantidad de partes que le toco a cada equipo.


En este caso el numerador será la cantidad de partes de pizza que recibe cada equipo, y el denominador representa la cantidad de partes en que se dividió cada pizza.



Ejemplo 4.

Un agricultor desea sembrar papa y camote y tiene dos terrenos separados, cada uno dividido en 10 zonas. Le recomienda usar 13 zonas para cultivar papas y 7 zonas para cultivar camotes. Escriba los números racionales que representan la cantidad de zonas que se usan para cultivar papas y camotes.


En este caso el numerador será la cantidad de zonas que se usaran para cultivar papa o camote, y el denominador representa la cantidad de zonas en que se dividieron los dos terrenos.



Los números racionales también pueden ser negativos y se coloca el signo negativo delante de la fracción.

‒ Fracciones Equivalentes.

Son aquellas fracciones o números racionales, que teniendo diferentes numerador y denominador representan la misma cantidad. Por ejemplo si partimos una torta en dos partes y tomamos una de ellas estamos diciendo que hemos cogido 1/2 de la torta, pero si partimos la torta en 6 partes y tomamos 3 de ella entonces hemos cogido 3/6 de la torta. Estas fracciones son equivalentes ya que dependiendo de en cuantas partes se haya dividido la torta en realidad se esta cogiendo la misma cantidad. Gráficamente se vería de este modo, en donde el círculo es la torta.

En el primer circulo con la parte sombreada en rojo, este se divide o parte en dos y en el segundo con la parte sombreada en amarillo se divide o parte en 6, como se puede observar en ambos círculos las partes sombreadas son iguales la diferencia esta en como se parten o dividen los círculos. A estas fracciones se les conoce como equivalentes.

A veces necesitamos hallar fracciones equivalentes a otra, para ello podemos hacer dos operaciones una de ellas es amplificar y la otra simplificar. En el caso de amplificar una fracción lo que hacemos es multiplicar el numerador y denominador por un mismo numero, obteniendo de ese modo una fracción equivalente. En el caso de simplificar hacemos el proceso contrario dividimos el numerador y denominador por un mismo numero, y el resultado obtenido será una fracción equivalente.

Cuando simplificamos una fracción sucesivamente vamos a llegar a un punto en el que la división del numerador y denominador, ya no se podrán seguir haciendo en este caso decimos que hemos hallado una fracción irreducible.

Ejemplo 1.

Hallar una fracción equivalente a 7/8.


Para ello lo que tenemos que hacer es multiplicar el numerador y denominador con un número entero que elegimos al azar, puede ser 2 o 3, el que uno desee y obtenemos. En este caso no podemos dividir porque esta fracción es irreducible, es verdad que 8 es divisible con 2, pero 7 no.


Ejemplo 2.

Hallar una fracción equivalente a 18/9.


Para ello lo que haremos es dividir el numerador y denominador por un número entero que nos permita obtener una división exacta, o dicho de otro debemos hallar un divisor común para ambos números, en este caso el que podemos usar es 3.


Ejemplo 3.

Hallar una fracción equivalente para 1/2.


En este caso no podemos dividir ambos números porque esta fracción es irreducible. Con lo que nos queda sólo multiplicar por cualquier número entero mayor a 2.


Para saber si dos fracciones son equivalentes lo que se hace es multiplicar el numerador de una fracción con el denominador de la otra fracción y del mismo modo el numerador de la otra fracción con el denominador de la otra fracción. Si el producto es el mismo entonces decimos que ambas fracciones son equivalentes.

Ejemplo 4.

Verificar si estas fracciones son equivalentes  


Multiplicamos 2x15=30 y 5x6=30, como se puede observar ambos dan 30, entonces decimos que ambas fracciones son equivalentes.

‒ Fracciones homogéneas y heterogéneas.

Se llaman fracciones homogéneas aquellas fracciones que tienen igual denominador y heterogéneas a aquellas fracciones que tienen diferente denominador.

Ejemplo 1.

Determinar de las siguientes fracciones ¿Cuáles son homogéneas y heterogéneas?



Tal como se puede observar homogéneas son 2/6, 1/6 y 7/6 y son heterogéneas 5/15 y 3/7

Podemos convertir una serie de fracciones heterogéneas a fracciones homogéneas equivalentes obteniendo el mínimo común múltiplo de todos los denominadores, el mínimo común múltiplo obtenido será el nuevo denominador homogéneo, luego por cada fracción se divide el mínimo común múltiplo con el denominador y después se multiplica con el numerador, de ese modo se obtiene el numerador de la nueva fracción homogénea equivalente.

Ejemplo 2.

Homogeneizar las siguientes fracciones.



Primero hallamos el m.c.m de 3,6 y 7, el cual es 42, este número será el denominador homogéneo para las nuevas fracciones.

Para obtener la fracción homogénea de 2/3, dividimos 42 entre 3, y luego multiplicamos con 2, con lo cual obtenemos 28, en donde 2/3 será equivalente a 28/42.

Para obtener la fracción homogénea de 1/6, dividimos 42 entre 6, y multiplicamos con 1, con lo cual se obtiene 7 y con eso obtenemos la fracción equivalente 7/42.

Para obtener la fracción homogénea de 3/7, dividimos 42 entre 7, y multiplicamos con 3, con lo cual se obtiene 18 y con eso obtenemos la fracción equivalente 18/42.

Entonces las fracciones homogéneas de 2/3, 1/6, 3/7 correspondientes son:


‒ Representación gráfica.

Al igual que otros números, los números racionales se pueden representar en una recta gráfica, pero a diferencia de los números naturales y enteros entre dos números enteros, naturales o racionales siempre existen infinitos números racionales.

Podemos representar las fracciones con denominador 2, dividiendo en dos el segmento que hay entre cada número entero de la recta numérica, del mismo modo para los que tienen denominador 3 y así sucesivamente, es decir si queremos representar cualquier número racional primero tenemos que hallar entre que número entero se encuentra la fracción y luego calcular las partes en que se dividirá el segmento entre los dos números enteros, para hallar la posición correcta en la recta.

Ejemplo 1.

Representar los siguientes números racionales -1/2, 8/3, -7/5 en una recta numérica.


Primero debemos dividir las fracciones para obtener el cociente y el residuo. El cociente y el cociente más 1 nos dirá entre que números enteros se encuentra la fracción en la recta numérica y el denominador nos dirá en cuantas partes iguales debemos dividir ese segmento, el residuo nos dirá en que posición entre el cociente y el cociente más 1 está la fracción. En el caso la fracción sea un número negativo entonces el segmento a dividir se encontrará entre el cociente y el cociente menos 1.


Para -1/2, tenemos cociente 0, residuo 1 y el otro extremo del segmento a dividir es cociente menos 1 es decir la fracción se encuentra entre 0 y -1. Con esos datos dividimos el segmento entre 0 y -1, que este caso se divide en dos partes iguales como lo indica el denominador, luego el residuo 1 nos dice que debemos ubicar la fracción a una parte de las dos en que se divide el segmento. Como el número es negativo entonces se toma la parte empezando desde 0 hasta -1.


Para 8/3, obtenemos cociente 2, residuo 2 y el otro extremo es cociente más 1 es decir 3. Dividimos en 3 partes iguales el segmento que se encuentra entre 2 y 3, y ubicamos la fracción a 2 partes empezando desde 2 hasta 3.


Para -7/5, obtenemos cociente -1, residuo 2 y el otro extremo es cociente menos 1 es decir -2. Dividimos en 5 partes iguales el segmento entre -1 y -2, y ubicamos la fracción a 2 partes empezando desde -1 hasta -2.





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