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MATEMATICA I

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15. NÚMEROS RACIONALES.
15.2. RELACIONES DE IGUALDAD Y DESIGUALDAD DE NUMEROS RACIONALES.
15. NÚMEROS RACIONALES.
15.2. RELACIONES DE IGUALDAD Y DESIGUALDAD DE NUMEROS RACIONALES.
15. NÚMEROS RACIONALES.
15.2. RELACIONES DE IGUALDAD Y DESIGUALDAD DE NUMEROS RACIONALES.
ÍNDICE


‒ Igualdad y desigualdad.

A diferencia de los números naturales y enteros, podemos decir que dos números racionales son iguales si son equivalentes. Para saber si dos fracciones son equivalentes lo que se hace es multiplicar el numerador de una fracción con el denominador de la otra fracción y del mismo modo el numerador de la otra fracción con el denominador de la otra fracción. Si el producto es el mismo entonces decimos que ambas fracciones son equivalentes.

Ejemplo 1.

Verificar si estas fracciones son equivalentes o iguales



Multiplicamos 2x6=12 y 4x3=12, como se puede observar ambos dan 12, entonces decimos que ambas fracciones son equivalentes.


Ejemplo 2.

Verificar si estas fracciones son equivalentes o iguales



Multiplicamos 7x3=21 y 6x2=12, como se puede observar ambos dan diferentes valores, entonces decimos que ambas fracciones no son equivalentes o no son iguales.


Tal como sucedía con los números naturales y enteros, a las fracciones que se comparan para saber si son iguales o desiguales se les llama miembros de la igualdad o desigualdad, siendo el primer miembro la cantidad que esta a la izquierda del símbolo de la igualdad o desigualdad y segundo miembro a la cantidad que esta a la derecha.

Para representar la desigualdad con números racionales también se usan los símbolos >, <, y se debe tener en cuenta los números racionales negativos. Y como ya se sabe que todo número racional negativo es menor que cero, entonces esto nos dice que cualquier número racional negativo es menor que cualquier número racional positivo, o cualquier número racional positivo es mayor que cualquier número racional negativo.

También se dice que un número racional negativo es mayor que otro cuando este esta más cerca al 0, según la recta numérica o es menor que otro cuando este se aleja del 0, según la recta numérica.

Para saber de dos fracciones cual es mayor o menor que la otra, se usa el método del aspa que es el mismo usado para saber si son equivalentes, pero a diferencia del otro debemos colocar los resultados de la multiplicación correctamente. Es decir si multiplicamos el numerador del primer miembro con el denominador del segundo miembro entonces debemos colocar el resultado encima o debajo del primer miembro, luego multiplicamos el numerador del segundo miembro por el denominador del primer miembro, y este resultado lo colocamos debajo o encima del segundo miembro, comparamos los valores obtenidos y determinamos de ese modo cual es mayor y cual es menor.

Ejemplo 3.

Determinar de las dos fracciones si el primero es mayor que el segundo.



Primero multiplicamos 4x7=28, este resultado se coloca encima de la primera fracción 4/6, luego multiplicamos 2x6=12 y colocamos el resultado en la segunda fracción.


Como 28 es mayor que 12, entonces 4/6 es mayor que 2/7.


En el caso de que las fracciones sean homogéneas sólo se comparan los numeradores para determinar cual es mayor o menor.

Ejemplo 4.

Determinar de las dos fracciones si el primero es mayor que el segundo.



Tal como se puede observar ambas fracciones son homogéneas, entonces comparamos los numeradores y podemos ver que 19 es mayor que 7. Lo que nos dice que 19/6 es mayor que 7/6.


El método del aspa se usa generalmente para comparar solo dos fracciones, si deseamos comparar varias fracciones entonces necesitamos homogeneizar las fracciones, y evaluar los numeradores para determinar cuál es el mayor.

Ejemplo 5.

Ordenar de mayor a menor las siguientes fracciones.



Primero hallamos el m.c.m de 3,6,7 y 3, el cual es 42, este número será el denominador homogéneo para las nuevas fracciones.

Para obtener la fracción homogénea de 2/3, dividimos 42 entre 3, y luego multiplicamos con 2, con lo cual obtenemos 28, en donde 2/3 será equivalente a 28/42.

Para obtener la fracción homogénea de 1/6, dividimos 42 entre 6, y multiplicamos con 1, con lo cual se obtiene 7 y con eso obtenemos la fracción equivalente 7/42.

Para obtener la fracción homogénea de 3/7, dividimos 42 entre 7, y multiplicamos con 3, con lo cual se obtiene 18 y con eso obtenemos la fracción equivalente 18/42.

Para obtener la fracción homogénea de 8/3, dividimos 42 entre 3, y multiplicamos con 8, con lo cual se obtiene 112 y con eso obtenemos la fracción equivalente 112/42.

Entonces las fracciones homogéneas de 2/3, 1/6, 3/7,8/3 correspondientes son:




Como nos piden que ordenemos las fracciones de mayor a menor, las ordenamos comparando los numeradores de las fracciones homogéneas obtenidas, y las fracciones ordenadas de mayor son:



Existen fracciones en donde todas tienen el mismo numerador, para saber cual es el mayor o menor, se debe observar los denominadores, si una fracción tiene un denominador mayor a las demás fracciones entonces ese será la menor fracción de todas, y si una fracción tiene un denominador menor a los demás fracciones entonce ese será la mayor fracción de todas.

Ejemplo 6.

Ordenar de forma ascendente y descendente las siguientes fracciones.



Observando vemos que 8/11 es la menor fracción de todas por tener un denominador mayor al de los demás. Entonces ordenando las fracciones en forma ascendente tenemos:



Y en el caso de ordenarlo de forma descendente, podemos observar que 8/3 es la mayor fracción de todas, por lo que ordenando las fracciones en forma descendente tenemos:


La definición de igualdad y desigualdad se puede generalizar explicándolo simbólicamente del siguiente modo:


‒ Símbolos de igualdad y desigualdad.
Símbolo Descripción

a=b

a es igual a b, si a y b representan las mismas cantidades.

a≠b

a no es igual a b, si a y b representan distintas cantidades.

a>b

a es mayor que b, si a representa una cantidad mayor que b.

a<b

a es menor que b, si a representa una cantidad menor que b.

a≥b

a es mayor o igual que b, si a representa una cantidad mayor o igual a b. Es decir la relación de desigualdad se cumple cuando la cantidad a es igual o en su defecto es mayor que b.

a≤b

a es menor o igual que b, si a representa una cantidad menor o igual a b. Es decir la relación de desigualdad se cumple cuando la cantidad a es igual o en su defecto es menor que b.



En donde a y b representan cualquier numero racional.

‒ Axiomas de la igualdad y desigualdad.

Los siguientes axiomas son los mismos de los números naturales y enteros pero con la diferencia de que las letras a,b y c representan números racionales.


‒ Axiomas
Axiomas Simbolicamente
1

Axioma 01: Reflexiva. Todo número es igual a sí mismo.

a=a

2

Axioma 02: Simetría. Si un número es igual a otro, éste es igual al primero.

Si a=b, ⇒ b=a.

 3

Axioma 03: Transitiva. Si un número es igual a otro y éste es igual a un tercero, entonces el primero es igual al tercero.

Si a=b y b=c, ⇒ a=c.

4

Axioma 04: Transitiva. Si un número es mayor que otro y éste es mayor que un tercero, entonces el primero es mayor que el tercero.

Si a>b y b>c, ⇒ a>c.

5

Axioma 05: Transitiva. Si un número es menor que otro y éste es menor que un tercero, entonces el primero es menor que el tercero.

Si a<b y b<c, ⇒ a<c.

6

Axioma 06: Transitiva. Si un número es mayor que otro y éste es igual a un tercero, entonces el primero es mayor que el tercero.

Si a>b y b=c ⇒ a>c.

7

Axioma 07: Transitiva. Si un número es menor que otro y éste es igual a un tercero, entonces el primero es menor que el tercero.

Si a<b y b=c ⇒ a<c.

 





ÍNDICE


 
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