‒ Progresión Aritmética.
Es una sucesión ordenada en la que cada termino de la sucesión se obtiene sumando al anterior una cantidad constante llamada razón o diferencia.
Una progresión aritmética es creciente cuando la razón es positiva y decreciente cuando la razón es negativa. Es decir, si la razón es mayor que cero entonces la progresión es creciente, pero si la razón es menor que cero entonces la progresión es decreciente, en el caso la razón sea igual a cero entonces se dice que la progresión es trivial.
La representación de una progresión aritmética se suele dar de la siguiente forma:
: t1,t2,t3, … , tn-1,tn
en donde:
t1 = primer término de la progresión aritmética
tn = término de lugar “n” o enésimo término
A veces la letra t se suele cambiar por la letra “a”, es decir otra forma sería:
: a1,a2,a3, … , an-1,an
Por definición:
tn=tn-1 + r
en donde r es la razón, con lo que se tiene:
r= tn - tn-1
A veces la razón se suele representar con la primera letra de su otra denominación llamada diferencia. Es decir otra forma para hallar la razón o diferencia sería:
d=an - an-1
Para hallar un término cualquiera de una progresión aritmética podemos usar una formula que nos permite hallar el valor de cualquier termino, sin la necesidad de escribir o calcular los términos anteriores.
Dicha formula es conocida como la formula general de la progresión y es la que se muestra a continuación:
tn=t1+(n-1)r
En donde “n” es el termino enésimo que queremos hallar.
Debemos tener presente la siguiente propiedad que nos dice: “Que la suma de dos términos equidistantes de sus términos extremos de una progresión aritmética es igual al resultado de sumar los términos extremos de dicha progresión aritmética”.
Es decir, sea la siguiente progresión aritmética, con una razón de 3:
: 3 … 12...30..39
En donde 3 y 39, son los términos extremos de la progresión aritmética.
En donde 12 y 30, son los términos equidistantes de los términos extremos, porque entre 3 y 12, hay 2 términos; y entre 30 y 39 también hay 2 términos.
De acuerdo a la propiedad entonces 3+39=12+30
De esta propiedad se deducen estas formulas:
- Formula para hallar el termino central de una progresión aritmética.
n es impar.
- Formula para hallar el segundo termino de una progresión de tres términos.
- Formula para hallar la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética.
Los medios aritméticos o diferenciales son los términos de una progresión aritmética, comprendido entre sus términos extremos.
m = medios aritméticos o diferenciales
A la operación para formar una progresión aritmética conociendo los términos extremos y los medios aritméticos, se le conoce como Interpolación de medios aritméticos. Para poder Interpolar medios aritméticos se hace uso de una formula que nos permite hallar la razón o diferencia de interpolación.
En donde ri es la razón de interpolación, m los medios aritméticos a interpolar, tp y tq los términos extremos, siendo tp el termino por donde empieza la progresión y tq el termino en el que termina.
‒ Progresión geométrica.
Es una sucesión ordenada en la que cada termino de la sucesión se obtiene multiplicando al anterior una cantidad constante llamada razón, en donde el primer termino es distinto de cero.
Una progresión geométrica es creciente cuando la razón es mayor que la unidad y decreciente cuando la razón es menor que la unidad.
La representación de una progresión geométrica se suele dar de la siguiente forma:
:: t1,t2,t3, … , tn-1,tn
en donde:
t1 = primer término de la progresión geométrica diferente de cero
tn = término de lugar “n” o enésimo término
A veces la letra t se suele cambiar por la letra “a”, es decir otra forma sería:
:: a1,a2,a3, … , an-1,an
Por definición:
tn=tn-1 x r
en donde r es la razón, con lo que se tiene:
r= tn ÷ tn-1
A veces la razón se suele representar con la letra q para así diferenciarlo de la razón aritmética :
q=an ÷ an-1
Para hallar un término cualquiera de una progresión geométrica podemos usar una formula que nos permite hallar el valor de cualquier termino, sin la necesidad de escribir o calcular los términos anteriores.
Dicha formula es conocida como la formula general de la progresión.
tn=t1qn-1
En donde “n” es el termino enésimo que queremos hallar.
Debemos tener presente la siguiente propiedad que nos dice: “Que el producto de dos términos equidistantes de sus términos extremos de una progresión geométrica es igual al producto de los términos extremos de dicha progresión geométrica”.
Es decir, sea la siguiente progresión geométrica, con una razón de 3:
: 3 … 81...2187..59049
En donde 3 y 81, son los términos extremos de la progresión aritmética.
En donde 2187 y 59049, son los términos equidistantes de los términos extremos, porque entre 3 y 81, hay 2 términos; y entre 2187 y 59049 también hay 2 términos.
De acuerdo a la propiedad entonces 3x59049=81x2187
De esta propiedad se deducen estas formulas:
- Formula para hallar el termino central de una progresión geométrica.
n es impar.
- Formula para hallar el segundo termino de una progresión de tres términos.
- Formula para hallar el producto de los n primeros términos de una progresión geométrica.
- Formula para hallar la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética.
Los medios geométricos o proporcionales son los términos de una progresión geométrica, comprendido entre sus términos extremos.
m = medios geométricos o proporcionales
A la operación para formar una progresión geométrica conociendo los términos extremos y los medios geométricos, se le conoce como Interpolación de medios geométricos. Para poder Interpolar medios geométricos se hace uso de una formula que nos permite hallar la razón de interpolación geométrica.
En donde qi es la razón de interpolación geométrica, m los medios aritméticos a interpolar, tp y tq los términos extremos, siendo tp el termino por donde empieza la progresión y tq el termino en el que termina.
‒ Ejercicios resueltos.
‒ Ejercicio 01.
Hallar el t50 en la siguiente sucesión aritmética: 2, 5, 8, 11 ...
‒ Ejercicio 02.
En una progresión aritmética se conoce t3+t6=57 y t5+t10=99, hallar la razón y el primer término.
‒ Ejercicio 03.
En una progresión aritmética se conoce que t1=a-2; r=2-a y Sn=10-5a, calcular el valor de n.
‒ Ejercicio 04.
Hallar la razón de una P.A. si la suma de “n” términos es n(5n-3)
‒ Ejercicio 05.
En una P.A. el primer término es 12, el número de términos es 9 y la suma es 252. En otra P.A. el t1 = 2, r = 6. Dos términos del mismo lugar de estas progresiones son iguales. ¿Cuál es su valor?
‒ Ejercicio 06.
En la P.A: … 5 … 47 … 159, el número de términos que hay entre 47 y 159 es el triple del número de términos que hay entre 5 y 47. Hallar la razón de esta progresión.
‒ Ejercicio 07.
Un obrero va a colocar 25 postes de cerca cada 3 metros, para colocarlos debe llevarlos desde el carro, colocar el poste y luego regresar por otro. Si desde el carro al primer poste recorre 7m. ¿Cuántos metros tiene que caminar para colocar todos los postes?
‒ Ejercicio 08.
Se han interpolado “m” medios aritméticos entre 3 y 67 y “2m” medios aritméticos entre 2 y 47. Si la razón de la primera progresión aritmética es 5 mas que la razón de la segunda progresión aritmética. Hallar el número de términos de cada progresión.
‒ Ejercicio 09.
¿Cuantos medios aritméticos se pueden interpolar entre 3 y 51, si la suma de sus términos es 432?
‒ Ejercicio 10.
Hallar el término de lugar 13 en la siguiente progresión geométrica:
‒ Ejercicio 11.
En una progresión geométrica se sabe que el t1=1/8, t3=9/8 y tn=2187/8. Hallar la razón y el número de términos
‒ Ejercicio 12.
En una progresión geométrica se sabe que t1=2 y tn=486 y la suma de sus términos es 728. Hallar la razón y la cantidad de términos
‒ Ejercicio 13.
De una progresión aritmética y otra geométrica de números naturales con 3 términos , se sabe que sus dos primeros términos son iguales, siendo el primero para ambos el 5; pero el tercer término de la progresión aritmética es 3/4 del tercer termino de la progresión geométrica. Hallar los términos.
‒ Ejercicio 14.
La suma de 8 términos de una progresión geométrica es igual a 82 veces la suma de los 4 primeros términos de dicha progresión geométrica. Hallar la razón.
‒ Ejercicio 15.
Entre 5 y 38 880, y entre 2 y 486 se han interpolado la misma cantidad de términos geométricos. Hallar la razón geométrica de cada progresión si la razón de la primera es el doble de la segunda.
‒ Ejercicio 16.
Una bola cae desde una altura de 15m por un tubo; por rebote la bola se eleva 4/5 de altura y así sucesivamente hasta dejar de rebotar. ¿Cuánto es la distancia total en metros de las caídas y rebotes que da la bola?
‒ Ejercicio 17.
En la siguiente progresión aritmética:
2 … 34 … p
el número de términos que hay entre 2 y 34 es igual al número de términos que hay entre 34 y p. Además, la suma de todos los términos es 578. Hallar la razón.
‒ Ejercicio 18.
Dada la siguiente progresión aritmética:
x , y , z
Dada las siguientes progresiones geométricas:
Hallar el término z de la progresión aritmética
‒ Ejercicio 19.
La suma de los dos primeros términos de una progresión aritmética es 36, la suma desde el 3er término hasta el 5to es 84 y la suma de los 3 últimos términos es 156, además la suma de toda la progresión es 396. ¿Hallar el número de términos de la progresión?
‒ Ejercicio 20.
Si los términos de lugares m,n,o y p de una progresión aritmética son a,b,c y d respectivamente, calcular.
E={(p-m)a+(o-n)b+(n-m)c+(o-p)d}/a
‒ Ejercicio 21.
De la siguiente P.A.
(a-6),40,(a+10)
Hallar el valor de a.
‒ Ejercicio 22.
Dos cuerpos se encuentran a una distancia de 80 metros uno del otro, uno de ellos se mueve a 13 m/s al encuentro del otro. El otro cuerpo que va a su encuentro, recorre una distancia de 4 metros el primer segundo, y en cada siguiente segundo la distancia recorrida aumenta 2 metros más que el segundo anterior. ¿Después de cuantos segundos los cuerpos se encuentran?
‒ Comentarios y sugerencias.
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