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Dentro del álgebra, la multiplicación de ciertas expresiones algebraicas o polinomios se puede realizar sin hacer la operación. Es decir el resultado se puede obtener sin la necesidad de multiplicar cada uno de los términos de las expresiones algebraicas o polinomios. De ese modo se puede ahorrar tiempo y complicaciones. Para poder obtener el resultado sin multiplicar cada uno de los términos, se suele recurrir a reglas fijas o usar formulas. A este conjunto dé formulas o reglas se conocen como productos notables o identidades algebraicas.

  1. Binomio al cuadrado conocido como cuadrado de una suma y una diferencia.

    (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
    (a - b)2 = a2 - 2ab + b2

  2. Diferencia de cuadrados.

    (a + b)(a - b)= a2 - b2

  3. Trinomio al cuadrado o cuadrado de un trinomio.

    (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

  4. Binomio al cubo o cubo de una suma o diferencia.

    (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
    (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

    Identidad de Cauchy

    (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)
    (a - b)3 = a3 - b3 - 3ab(a - b)

  5. Producto de dos binomios con un término común o identidad de Steven.

    (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab

  6. Suma y diferencia de cubos.

    a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)
    a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)

  7. Identidades de Legendre.

    (a + b)2 + (a - b)2 = 2(a2 + b2)
    (a + b)2 - (a - b)2 = 4ab
    (a + b)4 - (a - b)4 = 8ab(a2 + b2)

  8. Trinomio al cubo.

    (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3a2b + 3a2c + 3b2a + 3b2c + 3c2a + 3c2b + 6abc
    (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(a + c)(b + c)
    (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b + c)(ab + bc + ac) - 3abc
    (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3a2(b + c) + 3b2(a + c) + 3c2(a + b) + 6abc

  9. Identidades de Argand.

    (a2n + anbm + b2m)(a2n - anbm + b2m) = a4n + a2nb2m + b4m
    (a2 + a + 1)(a2 - a + 1) = a4 + a2 + 1
    (a2 + ab + b2)(a2 - ab + b2) = a4 + a2b2 + b4

  10. Identidades de Lagrange.

    (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2 + (ay - bx)2
    (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) = (ax + by + cz)2 + (ay - bx)2 - (az - cx)2 + (bz - cy)2

  11. Identidades de Gauss.

    (a + b + c) (a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc) = a3 + b3 + c3 - 3abc
    [(a + b + c){(a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2}] / 2 = a3 + b3 + c3 - 3abc
    (a + b + c)(ab + ac + bc) = (a + b)(a + c)(c + b) + abc

  12. Tres binomios con término común.

    (x + a)(x + b)(x + c) = x3 + (a + b + c)x2 + (ab + ac + bc)x + abc

  13. Suma de dos cuadrados / factorización con enteros gaussianos.

    a2 + b2 = (a + bi)(a - bi) en donde i = (-1)1/2 y i2 = -1
    a2 + b2 = (a + (2ab)1/2 + b)(a - (2ab)1/2 + b)

  14. Otras identidades.

    (ab + ac + bc)2 = a2b2 + a2c2 + b2c2 + 2abc(a + b + c)

  15. Otras identidades cuando a + b + c = 0.

    a2 + b2 + c2 = -2(ab + ac + bc)
    a3 + b3 + c3 = 3abc.
    a4 + b4 + c4 = (a2 + b2 + c2)2 - 1
    a5 + b5 + c5 = -5abc(ab + ac + bc)

  16. Si x,y,z ∊ ℝ ⴷ x2 + y2 + z2 = xy + xz + yz ⇒ x = y = z

  17. Si x,y,z ∊ ℝ ⴷ m,n,p ∊ ℤ+ ⴷ x2m + y2n + z2p = 0 ⇒ x = y = z = 0

Si x2 + y2 = 20; xy = 5, calcular P = (x+y)2 - 10

Si x3 + y3 = 10; xy=7, calcular E = (x + y)3 - 21(x + y) + 7

Efectuar: (x + y)(x - y) + (x2 + y2) e indicar la respuesta correcta.

a) 2x b) 2x3 c) 2x2 d) 2x-2

Efectuar: (a2 + b2)(a2 - b2)(a4 + b4) + (a8 + b8) e indicar la respuesta correcta

a) 2b8 b) 2a-8 c) 2a8 d) -2a8

Si 2x+y=2; calcular :

Si 2x-y= y xy=2; entonces (2x+y)2 es :

a) -8 b) 8 c) -24 d) 8-1 e) 24

Si ; entonces (x2 + x-2) + (x3 + x-3) es:

a) 1417 b) 1317 c) 1713 d) 1714 e) 1147

Si ;   entonces     es :

Determinar el valor de:  

Si  , hallar m=a6+a-6

a)  2   b)  2   c)  -2   d)     e)  -2

Hallar el valor de  
Si xy = 2;   x2+y2=3

Si   ; x>0;  y>0
Calcular  
a) 12   b) 3   c) 19   d) 9   e) 11

Si  ;  hallar el valor de



a) 4   b) 1   c) -4   d) -2   e) 4-1

Simplificar  
a) b   b) n   c) -2   d) a   e) 0

Hallar el valor de E sin usar calculadora  

a) 3   b) 22   c) 21   d) 25   e) 2

Hallar el valor de  E = (x + 3y)(x + 4y)(x -2y)(x - 3y);   si x2 + xy = 10y2

a) 2y4   b) 0   c) x2   d) 8y4   e) 2y2

Si a + b = y ab = 3 Hallar a - b

a) 0   b)   c)   d)   e)

Si a2 + b2 = 6 y a + b = 3.   Hallar a - b.

a) 1   b)   c)   d)   e) 6

Si (a+b)4 = 49+20 y (a-b)4=49-20 y a2+b2=5, hallar ab

a) 8   b)   c)   d) 5   e) 49

Si   x+y+z=3   y   xy+xz+yz=1

Hallar  
a) -18   b) 18   c)   d)   e) 24