Dentro del álgebra, la multiplicación de ciertas expresiones algebraicas o polinomios se puede realizar sin hacer la operación. Es decir el resultado se puede obtener sin la necesidad de multiplicar cada uno de los términos de las expresiones algebraicas o polinomios. De ese modo se puede ahorrar tiempo y complicaciones. Para poder obtener el resultado sin multiplicar cada uno de los términos, se suele recurrir a reglas fijas o usar formulas. A este conjunto dé formulas o reglas se conocen como productos notables o identidades algebraicas.
- Binomio al cuadrado conocido como cuadrado de una suma y una diferencia.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
- Diferencia de cuadrados.
(a + b)(a - b)= a2 - b2
- Trinomio al cuadrado o cuadrado de un trinomio.
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
- Binomio al cubo o cubo de una suma o diferencia.
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
Identidad de Cauchy
(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)
(a - b)3 = a3 - b3 - 3ab(a - b)
- Producto de dos binomios con un término común o identidad de Steven.
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
- Suma y diferencia de cubos.
a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)
a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)
- Identidades de Legendre.
(a + b)2 + (a - b)2 = 2(a2 + b2)
(a + b)2 - (a - b)2 = 4ab
(a + b)4 - (a - b)4 = 8ab(a2 + b2)
- Trinomio al cubo.
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3a2b + 3a2c + 3b2a + 3b2c + 3c2a + 3c2b + 6abc
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(a + c)(b + c)
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b + c)(ab + bc + ac) - 3abc
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3a2(b + c) + 3b2(a + c) + 3c2(a + b) + 6abc
- Identidades de Argand.
(a2n + anbm + b2m)(a2n - anbm + b2m) = a4n + a2nb2m + b4m
(a2 + a + 1)(a2 - a + 1) = a4 + a2 + 1
(a2 + ab + b2)(a2 - ab + b2) = a4 + a2b2 + b4
- Identidades de Lagrange.
(a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2 + (ay - bx)2
(a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) = (ax + by + cz)2 + (ay - bx)2 - (az - cx)2 + (bz - cy)2
- Identidades de Gauss.
(a + b + c) (a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc) = a3 + b3 + c3 - 3abc
[(a + b + c){(a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2}] / 2 = a3 + b3 + c3 - 3abc
(a + b + c)(ab + ac + bc) = (a + b)(a + c)(c + b) + abc
- Tres binomios con término común.
(x + a)(x + b)(x + c) = x3 + (a + b + c)x2 + (ab + ac + bc)x + abc
- Suma de dos cuadrados / factorización con enteros gaussianos.
a2 + b2 = (a + bi)(a - bi) en donde i = (-1)1/2 y i2 = -1
a2 + b2 = (a + (2ab)1/2 + b)(a - (2ab)1/2 + b)
- Otras identidades.
(ab + ac + bc)2 = a2b2 + a2c2 + b2c2 + 2abc(a + b + c)
- Otras identidades cuando a + b + c = 0.
a2 + b2 + c2 = -2(ab + ac + bc)
a3 + b3 + c3 = 3abc.
a4 + b4 + c4 = (a2 + b2 + c2)2 - 1
a5 + b5 + c5 = -5abc(ab + ac + bc)
- Si x,y,z ∊ ℝ ⴷ x2 + y2 + z2 = xy + xz + yz ⇒ x = y = z
- Si x,y,z ∊ ℝ ⴷ m,n,p ∊ ℤ+ ⴷ x2m + y2n + z2p = 0 ⇒ x = y = z = 0
Si a=
y b=
Hallar E= [2-1{ (a+b)2+(a-b)2 } -ab] (a+b)
a ) 2 b ) 3-1 c ) 5 d) 7 e) -7Hallar el valor de E:
a) 100 b) 2 c) 0 d) -2 e) 5 f) 1Si y x∈ℤ+ determinar el valor de (x+1)2
Si , Hallar (a2-ab+b2)2-1
Si x+1=3 y x4+x2y3+y6 = 2(x4-x2y3+y6)-1, Hallar E = x9 + x8 + x5y6 + x4y6 + xy12 + y12
Si 2x2y2 = 3 y (2x+3y)2(5x+2y)2+(2y-3x)2+(5y-2x)2 = 42, Hallar x4+y4
Si (6+2y+5z)2+(3y-4)2+(3z-10)2+(2z-5y)2 = 19, Hallar y2+z2
Sabiendo que a+b+c=6 y a2+b2+c2 = 2 calcular:
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Sabiendo que a+b+c=10, a2-2ab+b=1, b2-2bc+c2=4, c2-2ca+a2=9, calcular: E=a3+b3+c3-3(abc-1)
Sabiendo que (a+b)(a+c)(b+c)=1 y a+b+c=2 calcular:
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Del siguiente cuatrinomio x3+9x2+26x+24, hallar las dos raíces faltantes, si se sabe que una de las raíces es -3 y las faltantes son números enteros.
Dividir los siguientes números complejos
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