Ejercicios resueltos de productos notables 02

Dentro del álgebra, la multiplicación de ciertas expresiones algebraicas o polinomios se puede realizar sin hacer la operación. Es decir el resultado se puede obtener sin la necesidad de multiplicar cada uno de los términos de las expresiones algebraicas o polinomios. De ese modo se puede ahorrar tiempo y complicaciones. Para poder obtener el resultado sin multiplicar cada uno de los términos, se suele recurrir a reglas fijas o usar formulas. A este conjunto dé formulas o reglas se conocen como productos notables o identidades algebraicas.

1. Identidades de Argand.
   
   (a²ⁿ+aⁿb^m+b^2m)(a²ⁿ-aⁿb^m+b^2m)=a⁴ⁿ+a²ⁿb^2m+b^4m
   (a²+a+1)(a²-a+1)=a⁴+a²+1
   (a²+ab+b²)(a²-ab+b²)=a⁴+a²b²+b⁴
   
   
2. Identidades de Lagrange.
   
   (a²+b²)(x²+y²)=(ax+by)²+(ay-bx)²
   (a²+b²+c²)(x²+y²+z²)=(ax+by+cz)²+(ay-bx)²-(az-cx)²+(bz-cy)²
   
   
3. Identidades de Gauss.
   
   (a+b+c)(a²+b²+c²-ab-ac-bc)=a³+b³+c³-3abc
   [(a+b+c){(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²}] / 2 = a³+b³+c³-3abc
   (a+b+c)(ab+ac+bc)=(a+b)(a+c)(c+b)+abc
   
   
4. Tres binomios con término común.
   
   (x+a)(x+b)(x+c)=x³+(a+b+c)x²+(ab+ac+bc)x+abc
   
   
5. Suma de dos cuadrados / factorización con enteros gaussianos.
   
   a²+b²=(a+bi)(a-bi) en donde i=(-1)^1/2 y i²=-1
   a²+b²=(a+(2ab)^1/2+b)(a-(2ab)^1/2+b)
   
   
6. Otras identidades.
   
   (ab+ac+bc)²=a²b²+a²c²+b²c²+2abc(a+b+c)
   
   
7. Otras identidades cuando a+b+c=0.
   
   a²+b²+c²=-2(ab+ac+bc)
   a³+b³+c³=3abc.
   a⁴+b⁴+c⁴=(a²+b²+c²)2^-1
   a⁵+b⁵+c⁵=-5abc(ab+ac+bc)
   
   
8. Si x,y,z ∊ ℝ ⴷ x²+y²+z²=xy+xz+yz ⇒ x=y=z
   
   
9. Si x,y,z ∊ ℝ ⴷ m,n,p ∊ ℤ⁺ ⴷ x^2m+y²ⁿ+z^2p=0 ⇒ x=y=z=0
   
   

‒ Ejercicio 23.

Si     y x∈ℤ⁺ determinar el valor de (x+1)²

‒ Ejercicio 24.

Si   ,  Hallar (a²-ab+b²)²-1

‒ Ejercicio 25.

Si x+1=3 y x⁴+x²y³+y⁶=2(x⁴-x²y³+y⁶)-1,   Hallar E=x⁹+x⁸+x⁵y⁶+x⁴y⁶+xy¹²+y¹²

‒ Ejercicio 26.

Si 2x²y²=3 y (2x+3y)²(5x+2y)²+(2y-3x)²+(5y-2x)²=42,  Hallar x⁴+y⁴

‒ Ejercicio 27.

Si (6+2y+5z)²+(3y-4)²+(3z-10)²+(2z-5y)²=19,  Hallar y²+z²

‒ Ejercicio 28.

Sabiendo que a+b+c=6 y a²+b²+c²=2 calcular: 

‒ Ejercicio 29.

Sabiendo que a+b+c=10, a²-2ab+b=1, b²-2bc+c²=4, c²-2ca+a²=9, calcular: E=a³+b³+c³-3(abc-1)

‒ Ejercicio 30.

Sabiendo que (a+b)(a+c)(b+c)=1 y a+b+c=2 calcular:

‒ Ejercicio 31.

Del siguiente cuatrinomio x3+9x2+26x+24, hallar las dos raíces faltantes, si se sabe que una de las raíces es -3 y las faltantes son números enteros.

‒ Ejercicio 32.

Dividir los siguientes números complejos 

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