Dentro del álgebra, la multiplicación de ciertas expresiones algebraicas o polinomios se puede realizar sin hacer la operación. Es decir el resultado se puede obtener sin la necesidad de multiplicar cada uno de los términos de las expresiones algebraicas o polinomios. De ese modo se puede ahorrar tiempo y complicaciones. Para poder obtener el resultado sin multiplicar cada uno de los términos, se suele recurrir a reglas fijas o usar formulas. A este conjunto dé formulas o reglas se conocen como productos notables o identidades algebraicas.

  1. Binomio al cuadrado conocido como cuadrado de una suma y una diferencia.

    (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
    (a - b)2 = a2 - 2ab + b2

  2. Diferencia de cuadrados.

    (a + b)(a - b)= a2 - b2

  3. Trinomio al cuadrado o cuadrado de un trinomio.

    (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

  4. Binomio al cubo o cubo de una suma o diferencia.

    (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
    (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

    Identidad de Cauchy

    (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)
    (a - b)3 = a3 - b3 - 3ab(a - b)

  5. Producto de dos binomios con un término común o identidad de Steven.

    (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab

  6. Suma y diferencia de cubos.

    a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)
    a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)

  7. Identidades de Legendre.

    (a + b)2 + (a - b)2 = 2(a2 + b2)
    (a + b)2 - (a - b)2 = 4ab
    (a + b)4 - (a - b)4 = 8ab(a2 + b2)

  8. Trinomio al cubo.

    (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3a2b + 3a2c + 3b2a + 3b2c + 3c2a + 3c2b + 6abc
    (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(a + c)(b + c)
    (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b + c)(ab + bc + ac) - 3abc
    (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3a2(b + c) + 3b2(a + c) + 3c2(a + b) + 6abc

  9. Identidades de Argand.

    (a2n + anbm + b2m)(a2n - anbm + b2m) = a4n + a2nb2m + b4m
    (a2 + a + 1)(a2 - a + 1) = a4 + a2 + 1
    (a2 + ab + b2)(a2 - ab + b2) = a4 + a2b2 + b4

  10. Identidades de Lagrange.

    (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2 + (ay - bx)2
    (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) = (ax + by + cz)2 + (ay - bx)2 - (az - cx)2 + (bz - cy)2

  11. Identidades de Gauss.

    (a + b + c) (a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc) = a3 + b3 + c3 - 3abc
    [(a + b + c){(a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2}] / 2 = a3 + b3 + c3 - 3abc
    (a + b + c)(ab + ac + bc) = (a + b)(a + c)(c + b) + abc

  12. Tres binomios con término común.

    (x + a)(x + b)(x + c) = x3 + (a + b + c)x2 + (ab + ac + bc)x + abc

  13. Suma de dos cuadrados / factorización con enteros gaussianos.

    a2 + b2 = (a + bi)(a - bi) en donde i = (-1)1/2 y i2 = -1
    a2 + b2 = (a + (2ab)1/2 + b)(a - (2ab)1/2 + b)

  14. Otras identidades.

    (ab + ac + bc)2 = a2b2 + a2c2 + b2c2 + 2abc(a + b + c)

  15. Otras identidades cuando a + b + c = 0.

    a2 + b2 + c2 = -2(ab + ac + bc)
    a3 + b3 + c3 = 3abc.
    a4 + b4 + c4 = (a2 + b2 + c2)2 - 1
    a5 + b5 + c5 = -5abc(ab + ac + bc)

  16. Si x,y,z ∊ ℝ ⴷ x2 + y2 + z2 = xy + xz + yz ⇒ x = y = z

  17. Si x,y,z ∊ ℝ ⴷ m,n,p ∊ ℤ+ ⴷ x2m + y2n + z2p = 0 ⇒ x = y = z = 0

Si a= y b=

Hallar  E= [2-1{ (a+b)2+(a-b)2 } -ab] (a+b)

a ) 2   b ) 3-1   c ) 5   d) 7   e) -7

Hallar el valor de E:


a) 100   b) 2   c) 0   d) -2   e) 5   f) 1

Si y x∈ℤ+ determinar el valor de (x+1)2

Si ,  Hallar (a2-ab+b2)2-1

Si x+1=3 y x4+x2y3+y6 = 2(x4-x2y3+y6)-1,  Hallar E = x9 + x8 + x5y6 + x4y6 + xy12 + y12

Si 2x2y2 = 3 y (2x+3y)2(5x+2y)2+(2y-3x)2+(5y-2x)2 = 42,  Hallar x4+y4

Si (6+2y+5z)2+(3y-4)2+(3z-10)2+(2z-5y)2 = 19,  Hallar y2+z2

Sabiendo que a+b+c=6 y a2+b2+c2 = 2 calcular:  

Sabiendo que a+b+c=10, a2-2ab+b=1, b2-2bc+c2=4, c2-2ca+a2=9, calcular: E=a3+b3+c3-3(abc-1)

Sabiendo que (a+b)(a+c)(b+c)=1 y a+b+c=2 calcular:   

Del siguiente cuatrinomio x3+9x2+26x+24, hallar las dos raíces faltantes, si se sabe que una de las raíces es -3 y las faltantes son números enteros.

Dividir los siguientes números complejos