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MATEMATICA I

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20. NÚMEROS DECIMALES.
20.1. LOS NÚMEROS DECIMALES.
20. NÚMEROS DECIMALES.
20.1. LOS NÚMEROS DECIMALES.
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20.1. LOS NÚMEROS DECIMALES.

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‒ ¿Qué son los números decimales?

Hasta ahora hemos visto los números naturales, enteros, fraccionarios y mixtos, en el caso de los números naturales vimos que no podíamos hacer una resta de un número menor con otro mayor, por ejemplo 3-5=?, no es posible con números naturales; pero luego vimos que es posible hacerlo con los números enteros en donde 3-5=-2. También hemos visto que no podemos hacer divisiones exactas con los números naturales y enteros, como por ejemplo, 3:5=0 con residuo 3 o 7:3=2 con residuo 1, aunque como vimos lo podemos expresar como fracciones y operar con ellos. Es decir podemos sumar la división de 3 entre 5 con la división de 7 entre 3, representando estas divisiones como fracciones del siguiente modo: 3/5+7/3=44/15, obtendremos otra fracción que representa una división inexacta. Nosotros podemos expresar el cociente de estas divisiones inexactas como una aproximación, y para ello haremos uso de los números decimales. Los números decimales tienen dos partes una de ellas es la parte entera y la otra la parte decimal que representa la aproximación del número, ambas partes se separan por un punto, que se conoce como punto decimal.

Para poder hallar la aproximación de un cociente usando números decimales debemos seguir el siguiente algoritmo o procedimiento.

  1. Hacer la división hasta obtener su cociente y residuo. El cociente obtenido será la parte entera del numero decimal.
  2. Luego multiplicamos por 10 el residuo o lo que es lo mismos le añadimos un cero a la derecha, y lo dividimos con el mismo denominador hasta obtener un nuevo cociente y un nuevo residuo, el nuevo cociente obtenido sera la primera aproximación y se coloca después del punto decimal. Si el nuevo residuo es diferente de cero, se multiplica por 10 y se vuelve a dividir con el mismo denominador y así sucesivamente hasta obtener un residuo igual a 0 o hasta alcanzar las aproximaciones deseadas.

Este algoritmo se puede hacer también usando el algoritmo tradicional de la división. En el siguiente ejemplo se mostrarán los dos métodos.

Ejemplo 1.

Dividir 2 entre 8 y obtener su aproximación y representarlo con un número decimal

2/8=0 r=2 n=0 Primero debemos observar que el 2 es menor que 8, con lo que tendremos como cociente el 0 y residuo el 2. La parte entera sería el 0.
20/8=2 r=4 n=0.2 Luego lo que tenemos que hacer es multiplicar por 10 el residuo o añadirle un 0 a la derecha, luego dividir el nuevo residuo con 8, el cociente que se obtiene será 2, y este será la primera aproximación.
40/8=5 r=0 n=0.25 Hacemos lo mismo con el residuo 4.

Como el residuo es 0 en esta última operación entonces decimos que la división de 2 entre 8 es 0.25, es decir 2/8=0.25 Usando el algoritmo de la división tradicional se tendría que hacer lo siguiente.

Se divide 2 entre 8, se coloca el 0 como la parte entera y el residuo es 2. Hasta aquí es una división normal con residuo.
Se añade al residuo por la derecha un 0 o mejor dicho se multiplica con 10, se divide 20 entre 8. Se coloca el nuevo cociente que es 2, después del punto seguido de la parte entera y se obtiene como nuevo residuo 4.
Finalmente se convierte el residuo 4 en 40, se divide con el 8 y se obtiene como cociente el 5 que se coloca después del 2 en la parte decimal. Al final el último residuo es 0, con lo que ya no se continua con la operación.
Ejemplo 2.

Dividir 23 entre 7 con una aproximación de 3 cifras decimales.

23/7=3 r=2 n=3 En este caso se divide 23 entre 7 y obtenemos un cociente 3. Este seria la parte entera del número decimal.
20/7=2 r=6 n=3.2 Luego multiplicamos el residuo anterior 2 por 10 obteniendo 20 y lo dividimos con 7. El nuevo cociente es 2 y se coloca después de la parte entera separado por el punto decimal. Este sería la primera cifra decimal pedida de las tres que se buscan.
60/7=8 r=4 n=3.28 Multiplicamos el residuo anterior 6 con 10 para luego dividirlo con 7. Obtendremos como nuevo cociente el 8 y nuevo residuo 4, el 8 será la segunda cifra decimal solicitada.
40/7=5 r=5 n=3.285 Multiplicamos el residuo anterior 4 por 10 para luego dividirlo con 7. Obtendremos como nuevo cociente el 5 y nuevo residuo el 5, el 5 será la tercera cifra decimal solicitada.

Como sólo nos piden obtener la división con una aproximación de 3 cifras entonces ya no se continua. Y decimos que 23 entre 7 es igual a 3.285 con residuo 5. Es decir 23/7=3.285 r=5 que es la respuesta a este ejemplo.

Usando el algoritmo de la división tradicional tendríamos lo siguiente.

Se divide 23 entre 7, se coloca el 0 como la parte entera y el residuo es 2. Hasta aquí es una división normal con residuo.
Se añade al residuo por la derecha un 0 o mejor dicho se multiplica con 10, se divide 20 entre 7. Se coloca el nuevo cociente que es 2, después del punto seguido de la parte entera y se obtiene como nuevo residuo 6. El 2 sería la primera cifra decimal solicitada
Se añade al residuo por la derecha un 0 o mejor dicho se multiplica con 10, se divide 60 entre 7. Se coloca el nuevo cociente que es 8, después del 2 y este sería la segunda cifra decimal. Se obtiene un nuevo residuo 4.
Se añade al residuo por la derecha un 0 o mejor dicho se multiplica con 10, se divide 40 entre 7. Se coloca el nuevo cociente que es 5, después del 8 y este sería la tercera cifra decimal. Se obtiene un nuevo residuo 5. Como sólo nos piden obtener la división con una aproximación de 3 cifras entonces ya no se continua.

Los números decimales pueden ser negativos o positivos, en el caso de ser negativos el signo se coloca delante del número, es decir al lado izquierdo de la parte entera.

‒ Fracciones decimales y unidades decimales.

Llamamos fracciones decimales a aquellas fracciones cuyo denominador es una potencia de 10.

Ejemplo 1.

Teniendo las siguientes potencias de 10, 101=10, 102=100 y 103=1000 escribir tres fracciones decimales con numeradores 5, 95 y 36 respectivamente.


Llamamos unidades decimales, a aquellas fracciones decimales que poseen como numerador a la unidad. Cuando la unidad es decir el uno tiene como numerador el 10, entonces a esta fracción le decimos 1 décimo, cuando esta tiene una potencia de 102 le decimos un centésimos, y cuando tiene una potencia de 103, le decimos una milésima. Las unidades decimales más conocidas y usadas se describen a continuación.

1/10  =  10-1 Un décimo

1/100  =  10-2 Un centésimo

1/1000  =  10-3 Un milésimo

1/10000  =  10-4 Un diez milésimo

1/100000  =  10-5 Un cien milésimo

1/1000000  =  10-6 Un millonésimo

‒ Escritura en letras y lectura de números decimales.

Los números decimales tienen una parte entera y una parte decimal separado por un punto, la parte entera se puede escribir en letras y leer usando la escala corta o larga, pero la parte decimal se lee o escribe en letras como si fueran enteros usando una de las dos escalas, pero luego se les da el nombre de la última cifra decimal según la posición en que se encuentre. Las posiciones de las cifras decimales de un número decimal, usan las denominaciones de las unidades decimales, en donde la primera cifra después del punto decimal se le llama “décimo”, al segundo “centésimo”, al tercero “milésimo”, al cuarto “diez milésimo”, al quinto “cien milésimo” y finalmente para el sexto “millonésimo”. Para los nombres que se dan después de la sexta cifra, estos varían dependiendo de que escala se se este usando, si se usa la escala corta para la séptima cifra será “diez millonésimos”, para la octava cifra “cien millonésimos”, para la novena cambia a “billonésimo”, es decir que para cada tres cifras se cambia de periodo; pero en la escala larga los periodos cambian cada seis cifras es decir para la séptima cifra se tendría “diez millonésimos”, para la octava cifra “cien millonésimos”, para la novena “mil millonésimos”, para la décima cifra “diez mil millonésimos”, para la onceava cifra “cien mil millonésimos” y finalmente para la doceava cifra “billonésimo”. Los periodos para cualquiera de las dos escalas se denominan como millonésimo, billonésimo, trillonésimo, cuatrillonésimo, quintillonésimo, sextillónesimo, septillonésimo, octillonésimo, etc. pero en la práctica sólo se suele usar hasta el milésimo.

A continuación se muestran las denominaciones más usadas en ambas escalas con sus correspondientes unidades decimales.

Unidades decimales Escala corta Escala larga
10-1 Décimos Décimos
10-2 Centésimos Centésimos
10-3 Milésimos Milésimos
10-4 Diez milésimos Diez milésimos
10-5 Cien milésimos Cien milésimos
10-6 Millonésimos Millonésimos
10-7 Diez millonésimos Diez millonésimos
10-8 Cien millonésimos Cien millonésimos
10-9 Billonésimos Mil millonésimos
10-10 Diez billonésimos Diez mil millonésimos
10-11 Cien billonésimos Cien mil millonésimos
10-12 Trillonésimos Billonésimos
10-13 Diez trillonésimos Diez billonésimos
10-14 Cien trillonésimos Cien billonésimos
10-15 Cuatrillonésimos Mil billonésimos
10-16 Diez cuatrillonésimos Diez mil billonésimos
10-17 Cien cuatrillonésimos Cien mil billonésimos
10-18 Quintillonésimos Trillonésimos
10-19 Diez quintillonésimos Diez trillonésimos
10-20 Cien quintillonésimos Cien trillonésimos
10-21 Sextillonésimos Mil trillonésimos
10-22 Diez sextillonésimos Diez mil trillonésimos
10-23 Cien sextillonésimos Cien mil trillonésimos
10-24 Septillonésimos Cuatrillonésimos

Después de escribir la parte entera se añaden una de las palabras “enteros” o “unidades”. El nombre de la última cifra decimal se puede escribir en femenino o masculino según sea el caso, es decir puede ser: “millonésimos” o “millonésimas”, “diez cuatrillonésimos” o “diez cuatrillonésimas”, etc. En el caso la última cifra decimal sea la unidad se escribe en singular tanto en femenino como en masculino, es decir puede ser : “décimo” o “décima”, “billonésimo” o “billonésima”, etc.

Ejemplo 1.

Escribir el siguiente número decimal en la escala corta y larga. 456.4589126


Primero la parte entera se escribe del siguiente modo “Cuatro cientos cincuenta y seis”, ahora la parte decimal se escribe como si fuera un número común y corriente, la parte decimal 4589126 tiene 7 cifras entonces en ambas escalas será igual y se escribe : “cuatro millones quinientos ochenta y nueve mil ciento veintiséis”. Ahora se observa la posición de la última cifra decimal que es 7 que corresponde a la unidad decimal 10-7, es decir se debe añadir al final las palabras “diez millonésimos”. Con lo que uniendo todo el número 456.4589126 se escribe:


Cuatro cientos cincuenta y seis enteros cuatro millones quinientos ochenta y nueve mil ciento veintiséis diez millonésimos

Ejemplo 2.

Escribir el siguiente número decimal en la escala corta y larga. 2.0000564589


Primero escribimos la parte entera : “Dos”, luego escribimos la parte decimal como un número común no tomando en cuenta las cifras no significativas es decir el cero, la parte decimal 0000564589 tiene sólo seis cifras significativas entonces se escribe igual en ambas escalas: “quinientos sesenta y cuatro mil quinientos ochenta y nueve”. Ahora se observa la posición de la última cifra decimal que es 10 que corresponde a la unidad decimal 10-10, es decir se debe añadir al final lo siguiente, “diez billonésimos” para la escala corta y “diez mil millonésimos” para la escala larga. Con lo que uniendo todo el número 2.0000564589 se escribe:


Para la escala corta: Dos enteros quinientos sesenta y cuatro mil quinientos ochenta y nueve diez billonésimos.


Para la escala larga: Dos enteros quinientos sesenta y cuatro mil quinientos ochenta y nueve diez mil millonésimos.

‒ Redondeo de decimales.

Es el proceso de descartar cifras decimales. Su utilidad es la de facilitar los cálculos y hacer que los resultados obtenidos sean más fáciles de comprender con números decimales que tienen una parte decimal muy grande. El algoritmo o proceso para redondear la parte decimal es como sigue:

  1. Decidir cuál es la última cifra que se quiere mantener en la parte decimal. (décimas, centésimas, milésimas, et.)
  2. Aumentar en 1 la última cifra solo si la siguiente cifra por la derecha es mayor o igual que 5; en caso contrario dejar la cifra sin cambios.
  3. Usar el número descartando las cifras decimales que hay a su derecha.
Ejemplo 1.

Redondear los siguientes números a la milésima: 3.4567, 45.68912, 3.25609, 13.9996

3.4567 redondeado a la milésima es 3.457 La cifra siguiente que es 7, es mayor que 5.
45.68912 redondeado a la milésima es 45.689 La cifra siguiente que es 1, es menor a 5.
3.25609 redondeado a la milésima es 3.256 La cifra siguiente que es 0, es menor a 5.
13.9996 redondeado a la milésima es 14 La cifra siguiente que es 6, es mayor que 5. Al ser la última cifra un 9 esto implica que al sumarle un 1 producirá un acarreo que hará que se, incrementen en uno las demás cifras.
Ejemplo 2.

Redondear los siguientes números a la décima los siguientes números: 15.756, 15.923, 15.954, 15.635

15.756 redondeado a la décima es 15.8 La cifra siguiente cifra es igual que 5.
15.923 redondeado a la décima es 15.9 La cifra siguiente que es 2, es menor a 5.
15.954 redondeado a la décima es 16 La cifra siguiente es igual que 5. Al ser la última cifra un 9 esto implica que al sumarle un 1 producirá un acarreo que hará que se incrementen en uno las demás cifras.
15.635 redondeado a la décima es 15.6 La cifra siguiente que es 3, es menor que 5.
Ejemplo 3.

Redondear el siguiente numero -13.967356 a la milésima, centésima y décima.

-13.967356 redondeado a la milésima es -13.967 La cifra siguiente que es 3, es menor a 5.
-13.967356 redondeado a la centésima es -13.97 La cifra siguiente que es 7, es mayor que 5.
-13.967356 redondeado a la décima es -14 La cifra siguiente que es 6, es mayor que 5. Al ser la última cifra un 9 esto implica que al sumarle un 1 producirá un acarreo que hará que se incrementen en uno las demás cifras.

Cuando se redondean números decimales negativos, estos se redondean sin tomar en cuenta el signo.

‒ Redondeo o estimación de enteros.

Es el proceso de descartar cifras en la parte entera del número reemplazando por ceros todas las cifras que se descartan por la derecha incluyendo la parte decimal. Su utilidad es para realizar cálculos mentales pero los resultados en estos casos no serán exactos, son solo estimaciones. Al redondeo de enteros también se le conoce como Estimaciones o aproximaciones. El algoritmo o proceso para redondear enteros es como sigue:

  1. Decidir cuál es la última cifra que se quiere mantener en la parte entera. (unidad, decena, centena, unidad de millar, decena de millar, etc.)
  2. Aumentar en 1 si la siguiente cifra por la derecha es mayor o igual que 5; en caso contrario dejar la cifra sin cambios.
  3. Completar el número por la derecha con ceros.
Ejemplo 1.

Redondear el siguiente número a la unidad, decena, centena el siguiente numero 1368.52

1368.52 redondeado a la unidad es 1369 La cifra siguiente es igual 5 y esta en la parte decimal.
1368.52 redondeado a la decena es 1370 La cifra siguiente que es 8, es mayor que 5.
1368.52 redondeado a la centena es 1400 La cifra siguiente que es 6, es mayor que 5.
Ejemplo 2.

Redondear el siguiente número 8 999 a la centena

8 999 redondeado a la centena es 9 000 La cifra siguiente que es 9, es mayor que 5. Al ser la última cifra un 9 esto implica que al sumarle un 1 producirá un acarreo que hará que se incremente en uno las demás cifras.
Ejemplo 3.

Redondear el siguiente número 342 956 123 489 a la unidad de millón en la escala larga y a la unidad del billón en la escala corta.

342 956 123 489 redondeado a la unidad de millón en la escala larga es 342 956 000 000 La cifra siguiente que es 1, es menor que 5.
342 956 123 489 redondeado a la unidad de billón en la escala corta es 343 000 000 000 La cifra siguiente que es 9, es mayor que 5.
Ejemplo 4.

Redondear a la unidad de millar el siguiente número -28 945.

-28 945 redondeado a la unidad de millar es -29 000 La cifra siguiente que es 9, es mayor que 5.



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