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MATEMATICA I

MATEMATICA I

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20. NÚMEROS DECIMALES.
20.3. RELACIONES DE IGUALDAD Y DESIGUALDAD DE NÚMEROS DECIMALES.
20. NÚMEROS DECIMALES.
20.3. RELACIONES DE IGUALDAD Y DESIGUALDAD DE NÚMEROS DECIMALES.
20. NÚMEROS DECIMALES.
20.3. RELACIONES DE IGUALDAD Y DESIGUALDAD DE NÚMEROS DECIMALES.

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‒ Igualdad y desigualdad.

Para saber si dos números decimales son iguales, podemos decir que dos números decimales son iguales si las partes enteras y sus partes decimales son iguales. Es decir si las partes enteras de los números decimales son diferentes entonces los números decimales son diferentes, pero si sus partes enteras son iguales entonces debemos comprobar si sus partes decimales son iguales.

Ejemplo 1.

Verificar si los siguientes números mixtos son equivalentes o iguales: 2.5 y 2.56

Aquí podemos observar que las partes enteras son iguales, por lo que debemos comparar sus partes decimales 0.5 y 0.56. Y tal como se puede observar 0.5 y 0.56 no son iguales con eso es suficiente para determinar que 2.5 no es igual a 2.56

2.5≠2.56

Tal como sucedía con los números naturales, enteros, fraccionarios y números mixtos. A los números decimales que se comparan para saber si son iguales o desiguales se les llama miembros de la igualdad o desigualdad, siendo el primer miembro la cantidad que esta a la izquierda del símbolo de la igualdad o desigualdad y segundo miembro a la cantidad que esta a la derecha. Para representar la desigualdad con números decimales también se usan los símbolos >, <, y se debe tener en cuenta que los números decimales pueden ser positivos o negativos.

Por otro lado, ya se sabe que todo número negativo es menor que cero, entonces esto nos dice que cualquier número decimal negativo es menor que cualquier número decimal positivo, o cualquier número decimal positivo es mayor que cualquier número decimal negativo.

También se dice que un número decimal negativo es mayor que otro cuando este esta más cerca al 0, según la recta numérica o es menor que otro cuando este se aleja del 0, según la recta numérica.

Para saber de dos números decimales cual es mayor o menor que el otro, comprobamos sus partes enteras, pero si sus partes enteras son iguales entonces verificamos cual de las partes decimales es mayor o menor, para ello debemos primero completar con ceros o cifras no significativas ambas partes decimales hasta que tengan la misma cantidad de cifras. Luego comparamos ambas partes decimales como si fueran números enteros ignorando el punto decimal.

Ejemplo 2.

Determinar cual de los dos números decimales 2.5 y 2.56 es el mayor.

Aquí podemos observar que las partes enteras son iguales, por lo que debemos comparar sus partes decimales 0.5 y 0.56. Para comparar las parte decimales lo que hacemos primero es completar con ceros o cifras no significativas ambas partes hasta que estas tengan la misma cantidad de cifras decimales, es decir a 0.5 le añadimos un cero a la derecha para obtener 0.50 y con eso ambas partes decimales tendrán dos cifras decimales. Luego comparamos ambas partes como si fueran números enteros ignorando el punto decimal, es decir debemos comparar 50 y 56. Con esto ya podemos determinar que 2.56 es mayor que 2.5 porque 56>50.

2.56 > 2.5

En el caso de números decimales negativos debemos considerar el signo al comparar dos partes decimales de dos números decimales negativos que tengan sus partes enteras iguales.

Ejemplo 3.

Determinar cual de los dos números decimales -2.5 y -2.56 es el mayor.

Aquí podemos observar que las partes enteras son iguales, por lo que debemos comparar sus partes decimales -0.5 y -0.56. Para comparar las partes decimales lo que hacemos primero es completar con ceros o cifras no significativas ambas partes hasta que estas tengan la misma cantidad de cifras decimales, es decir a -0.5 le añadimos un cero a la derecha para obtener -0.50 y con eso ambas partes decimales tendrán dos cifras decimales. Luego comparamos ambas partes como si fueran números enteros ignorando el punto decimal, pero a diferencia del ejemplo anterior comparar -50 y -56. Con esto ya podemos determinar que -2.5 es mayor que -2.56 porque -50>-56.

-2.5 > -2.56

La definición de igualdad y desigualdad se puede generalizar explicándolo simbólicamente del siguiente modo:


‒ Simbolos de igualdad y desigualdad.
Símbolo Descripción

a=b

a es igual a b, si a y b representan las mismas cantidades.

a≠b

a no es igual a b, si a y b representan distintas cantidades.

a>b

a es mayor que b, si a representa una cantidad mayor que b.

a<b

a es menor que b, si a representa una cantidad menor que b.



En donde a y b representan cualquier numero decimal. Existen otros símbolos de desigualdad que son, el mayor o igual que cuyo símbolo es ≥, y el menor o igual que cuyo símbolo es ≤, en donde:


‒ Otros simbolos de igualdad y desigualdad.
Símbolo Descripción

a≥b

a es mayor o igual que b, si a representa una cantidad mayor o igual a b. Es decir la relación de desigualdad se cumple cuando la cantidad a es igual o en su defecto es mayor que b.

a≤b

a es menor o igual que b, si a representa una cantidad menor o igual a b. Es decir la relación de desigualdad se cumple cuando la cantidad a es igual o en su defecto es menor que b.



‒ Axiomas de la igualdad y desigualdad.

Los siguientes axiomas son los mismos de los números naturales, enteros y fraccionarios pero con la diferencia de que las letras a,b y c representan números decimales.


‒ Axiomas.
Axiomas Simbolicamente
1

Axioma 01: Reflexiva. Todo número es igual a sí mismo.

a=a

2

Axioma 02: Simetría. Si un número es igual a otro, éste es igual al primero.

Si a=b, ⇒ b=a.

3

Axioma 03: Transitiva. Si un número es igual a otro y éste es igual a un tercero, entonces el primero es igual al tercero.

Si a=b y b=c, ⇒ a=c.

4

Axioma 04: Transitiva. Si un número es mayor que otro y éste es mayor que un tercero, entonces el primero es mayor que el tercero.

Si a>b y b>c, ⇒ a>c.

5

Axioma 05: Transitiva. Si un número es menor que otro y éste es menor que un tercero, entonces el primero es menor que el tercero.

Si a<b y b<c, ⇒ a<c.

6

Axioma 06: Transitiva. Si un número es mayor que otro y éste es igual a un tercero, entonces el primero es mayor que el tercero.

Si a>b y b=c ⇒ a>c.

7

Axioma 07: Transitiva. Si un número es menor que otro y éste es igual a un tercero, entonces el primero es menor que el tercero.

Si a<b y b=c ⇒ a<c.

 





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