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MATEMATICA I

MATEMATICA I

MATEMATICA I


21. ADICIÓN, SUSTRACCIÓN, MULTIPLICACIÓN, DIVISIÓN CON NÚMEROS DECIMALES.
21.2. MULTIPLIACIÓN CON NÚMEROS DECIMALES.
21. ADICIÓN, SUSTRACCIÓN, MULTIPLICACIÓN, DIVISIÓN CON NÚMEROS DECIMALES.
21.2. MULTIPLIACIÓN CON NÚMEROS DECIMALES.
21. ADICIÓN, SUSTRACCIÓN, MULTIPLICACIÓN, DIVISIÓN CON NÚMEROS DECIMALES.
21.2. MULTIPLIACIÓN CON NÚMEROS DECIMALES.

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‒ Multiplicación de números decimales.

Para la multiplicación de números decimales lo único que se tiene que hacer es multiplicar los números como si fueran números enteros ignorando el punto decimal, y luego de realizar la operación se cuenta la cantidad de decimales que tienen todos los números a multiplicar, y después se coloca el punto decimal en el resultado con tantas cifras decimales como tengan en total los números decimales a multiplicar.

Ejemplo 1.

Realizar la siguiente operación: 45.26 x 35.2 x – 3.589

Primero multiplicamos 45.26 y 35.2, ignorando el punto decimal.

4526
352x
9052
22630  
13578    
1593152


Luego multiplicamos 1593152 con -3.589 ignorando el punto decimal.

1593152
-3589x
14338368
12745216  
7965760    
4779456      
-5717822528


Ahora contamos la cantidad de cifras decimales que tiene cada número que hemos multiplicado.

45.26 tiene 2 cifras decimales
35.2 tiene 1 cifra decimal
-3.589 tiene 3 cifras decimales

Lo que nos da un total de 6 cifras decimales, con esto colocamos el punto decimal en el número obtenido -5717822528, lo que nos da el siguiente numero decimal -5717.822528. Entonces tenemos que:

45.26 x 35.2 x – 3.589 = -5717.822528.
Ejemplo 2.

Realizar la siguiente operación: 17.5 x 0.3


Primero hallamos las fracciones generatrices





Ahora lo que se hace es multiplicar las fracciones:



Dividimos la fracción obtenida y obtenemos 5.851, que será el resultado de:

5 x 0.3 = 5.851
‒ Multiplicación de números decimales por redondeo.

Del mismo modo que en la adición y sustracción, el proceso consiste solo en redondear los números decimales a la última cifra que se quiere mantener en la parte decimal (décimas, centésimas, milésimas, etc.) antes de hacer la operación, después se operan tal como se explicó anteriormente, sin hallar la fracción generatriz en el caso de decimales periódicos puros o periódicos mixtos. Al final el conteo de las cifras decimales se debe hacer con los números decimales redondeados. Debido a que se está haciendo una aproximación por redondeo, el resultado no siempre será igual en la parte entera del resultado si hiciéramos la operación sin redondear.

Ejemplo 1.

Calcular a las décimas la siguiente operación: 32.54 x 23.19 x -22.1

Primero redondeamos los números decimales a sus décimas:

32.54 = 32.5
23.19 = 23.2
-22.1 = -22.1

Primero multiplicamos 32.5 y 23.2, ignorando el punto decimal.

00325
00232 x
00650
09750
65000
75400

Luego multiplicamos 75400 con -22.1 ignorando el punto decimal.

-00075400
00000-221 x
-00075400
-01508000
-15080000
-16663400

Ahora contamos la cantidad de cifras decimales que tiene cada número que hemos multiplicado, el conteo de las cifras decimales se debe hacer con los números redondeados.

32.5 tiene 1 cifra decimal
23.2 tiene 1 cifra decimal
-22.1 tiene 1 cifra decimal

Lo que nos da un total de 3 cifras decimales, con esto colocamos el punto decimal en el número obtenido -16663400, lo que nos da el siguiente numero decimal -16663.400. Entonces tenemos que:

32.5 x 23.2 x – 22.1 = -16663.400

Debido a que esto es una aproximación el resultado no será igual a multiplicar los números sin redondear a las décimas.

32.54 x 23.19 x -22.1 ≠ 32.5 x 23.2 x – 22.1
‒ Multiplicar decimales con potencias de 10.

La multiplicación de un número entero con potencias de 10 consiste en añadir ceros a la derecha del número según el valor que tenga el exponente de una potencia de 10. Es decir:

4x105=400000 se añadieron 5 ceros a 4 porque el exponente de 10 es 5.
23x103=23000 se añadieron 3 ceros a 23 porque el exponente de 10 es 3.
458x106=458000000 se añadieron 5 ceros al 458 porque el exponente de 10 es 6.

En el caso de los decimales, lo que se hace es desplazar el punto decimal hacia la derecha tantos espacios nos indica el valor que tenga el exponente de una potencia de 10. Es decir:

1.2356x102=123.56 se desplazó 2 espacios a la derecha el punto decimal, porque el exponente de 10 es 2.
132.59x101=1325.9 se desplazó 1 espacios a la derecha el punto decimal, porque el exponente de 10 es 1.
85.94x102=8594 se desplazó 2 espacios a la derecha el punto decimal, porque el exponente de 10 es 2.
20.35875x103=20358.75 se desplazó 3 espacios a la derecha el punto decimal, porque el exponente de 10 es 3.
0.25678915x105=25678.915 se desplazó 5 espacios a la derecha el punto decimal, porque el exponente de 10 es 5.

En el caso de que el número decimal tenga menos cifras que el exponente de una potencia de 10, el resultado se completa con ceros. Es decir:

3.25x105=325000
59.2x103=59200
0.25x106=250000
‒ Axiomas de la multiplicación de números decimales.

‒ Axiomas
Axiomas Simbólicamente
1

Axioma 01: Conmutativa. El orden de los factores no altera el resultado de la multiplicación.

Ejemplo 1:

5.3x-4.5x3.7=-4.5x3.7x5.3

a·b·c=b·c·a

2

Axioma 02: Asociativa. La multiplicación de varios números no varía sustituyendo varios factores por su multiplicación.

Ejemplo 1:

8.3x-3.2x10=8.3x-32, se sustituyen los factores -3.2 y 10, por su multiplicación -3.2·10=-32

Ejemplo 2:

9.3(-5.2x3) = (9.3x-5.2)3 = 9.3x-15.6 = -48.36x3 = -145.08

En este ejemplo se usan los signos de agrupación (), para indicar la sustitución de los factores por su multiplicación.

a·b·c=(c·a)·b

3

Axioma 03: Disociativa. La multiplicación de varios números no se altera al reemplazar uno o más factores de forma que la multiplicación de los nuevos factores sea igual a la primera.

Ejemplo 1:

Si -15.2=-2x7.6, entonces 3x-15.2x2=3(-2x7.6)2

Si a=b·c,

=> m·a·n=m·(b·c)·n

4

Axioma 04: Elemento neutro. Existe solo un numero el uno, que al multiplicar con otro número no altera el resultado de la multiplicación.

Ejemplo 1:

1.3x1=1.3

Ejemplo 2:

-1.3x1=-1.3

a·1=a

5

Axioma 05: Elemento cero. Existe sólo un número, el cero, que al multiplicar con otro número el resultado será cero.

Ejemplo 1:

1.5x0=0

Ejemplo 2:

-1.5x0=0

a·0=0

6

Axioma 06: Clausura. Cuando se multiplican números enteros el resultado es siempre otro número entero.

Ejemplo 1:

1.3x2.5=3.25

Ejemplo 2:

-1.3x2.5=-3.25

a·b=c

7

Axioma 07: Uniforme. Cuando se multiplican miembro a miembro dos igualdades se obtiene otra igualdad.

Ejemplo 1:

1.8=1.8 y 1.7=1.7, entonces 1.8x1.7=1.8x1.7

Ejemplo 1:

-2.3=-2.3 y 5.3=5.3, entonces -2.3x5.3=-2.3x5.3

Si a=b y c=d, => a·c=b·d 

8

Axioma 08: Uniforme. Si a ambos miembros de una igualdad se le multiplica el mismo numero, la igualdad se mantiene.

Ejemplo 1:

8.3=8.3, entonces 8.3x1.5=8.3x1.5

Ejemplo 2:

-3.5=-3.5, entonces -3.5x1.5=-3.5x1.5

Si a=b, => a·c=b·c

9

Axioma 09: Monotonía. Cuando se multiplica miembro a miembro dos desigualdades, se obtiene otra desigualdad del mismo sentido, siempre y cuando ambos miembros sean mayor que 0.

Ejemplo 1:

1.2>1.3 y 5.2>3.5, entonces 1.2x5.2>1.3x3.5, si y sólo si 1.2>1.3>0 y 5.2>3.5>0

Ejemplo 2:

8.3<9.8 y 3.2<5.2, entonces 8.3x3.2<9.8x5.2, si y sólo si 0<8.3<9.8 y 0<3.2<5.2

Si a>b y c>d, => a·c>b·d ↔ a>b>0 y c>d>0 

Si a<b y c<d, => a·c<b·d ↔ 0<a<b y 0<c<d

10

Axioma 10: Monotonía. Cuando se multiplica un número positivo a cada miembro de una desigualdad, la desigualdad se mantiene.

Ejemplo 1:

8.3<9.2, entonces 8.3x1.5<9.2x1.5

Ejemplo 2:

5.4>2.5, entonces 5.4x2>2.5x2

Si a>b, => a·c>b·c ↔ c>0

Si a<b, => a·c<b·c ↔ c>0

 
11

Axioma 11: Monotonía. Cuando se multiplica un número negativo a cada miembro de una desigualdad, la desigualdad se invierte.

Ejemplo 1:

8.3<9.2, entonces 8.3x-1.5>9.2x-1.5

Ejemplo 2:

5.4>2.5, entonces 5.4x-2<2.5x-2

Si a>b, => a·c<b·c ↔ c<0

Si a<b, => a·c>b·c ↔ c<0

 

12

Axioma 12: Distributiva. Un número multiplicado por la adición o sustracción de dos números, es igual a la adición o sustracción de ese numero, multiplicado por cada uno de los dos números de la adición o sustracción que multiplica al número.

Ejemplo 1:

4(5.3+3.2)=4x5.3+4x3.2

Ejemplo 2:

-4.3(5+3)=-4.3x5+-4.3x3

Ejemplo 3:

4(5.3-3.2)=4x5.3-4x3.2

Ejemplo 4:

-2.3(2-9)=-2.3x2-2.3x-9

a(b+c)=a·b + a·c

a(b-c)=a·b-a·c, ↔ b>c






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