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MATEMATICA I

MATEMATICA I

MATEMATICA I


21. ADICIÓN, SUSTRACCIÓN, MULTIPLICACIÓN, DIVISIÓN CON NÚMEROS DECIMALES.
21.3. DIVISIÓN CON NÚMEROS DECIMALES.
21. ADICIÓN, SUSTRACCIÓN, MULTIPLICACIÓN, DIVISIÓN CON NÚMEROS DECIMALES.
21.3. DIVISIÓN CON NÚMEROS DECIMALES.
21. ADICIÓN, SUSTRACCIÓN, MULTIPLICACIÓN, DIVISIÓN CON NÚMEROS DECIMALES.
21.3. DIVISIÓN CON NÚMEROS DECIMALES.

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‒ La división inexacta.

Tal como se vio anteriormente las divisiones exactas no son posibles con los números naturales y enteros, dando origen a las divisiones inexactas que se pueden expresar como fracciones y operar con ellos. Sin embargo, nosotros podemos expresar el cociente de estas divisiones inexactas como una aproximación, y para ello se hace uso de los números decimales.

Para poder hallar la aproximación de un cociente usando números decimales debemos seguir el siguiente algoritmo o procedimiento.

  1. Hacer la división hasta obtener su cociente y residuo. El cociente obtenido será la parte entera del número decimal.
  2. Luego multiplicamos por 10 el residuo o lo que es lo mismo le añadimos un cero a la derecha, y lo dividimos con el mismo divisor o denominador hasta obtener un nuevo cociente y un nuevo residuo, el nuevo cociente obtenido será la primera aproximación y se coloca después del punto decimal. Si el nuevo residuo es diferente de cero, se multiplica por 10 y se vuelve a dividir con el mismo divisor o denominador y así sucesivamente hasta obtener un residuo igual a 0 o hasta alcanzar las aproximaciones deseadas.

En la división inexacta se presentan dos situaciones, uno de ellos es que el numero que divide al otro, sea mayor que el dividendo es decir una fracción impropia, y la otra situación es que sea menor es decir una fracción propia.

Este algoritmo se puede hacer también usando el algoritmo tradicional de la división. En el siguiente ejemplo se mostrarán los dos métodos.

Ejemplo 1.

Dividir 2 entre 8 y obtener su aproximación y representarlo con un número decimal

2/8=0 r=2 n=0 Primero debemos observar que el 2 es menor que 8, con lo que tendremos como cociente el 0 y residuo el 2. La parte entera sería el 0.
20/8=2 r=4 n=0.2 Luego lo que tenemos que hacer es multiplicar por 10 el residuo o añadirle un 0 a la derecha, luego dividir el nuevo residuo con 8, el cociente que se obtiene será 2, y este será la primera aproximación.
40/8=5 r=0 n=0.25 Hacemos lo mismo con el residuo 4.

Como el residuo es 0 en esta última operación entonces decimos que la división de 2 entre 8 es 0.25, es decir 2/8=0.25 Usando el algoritmo de la división tradicional se tendría que hacer lo siguiente.

Se divide 2 entre 8, se coloca el 0 como la parte entera y el residuo es 2. Hasta aquí es una división normal con residuo.
Se añade al residuo por la derecha un 0 o mejor dicho se multiplica con 10, se divide 20 entre 8. Se coloca el nuevo cociente que es 2, después del punto seguido de la parte entera y se obtiene como nuevo residuo 4.
Finalmente se convierte el residuo 4 en 40, se divide con el 8 y se obtiene como cociente el 5 que se coloca después del 2 en la parte decimal. Al final el último residuo es 0, con lo que ya no se continua con la operación.
Ejemplo 2.

Dividir 23 entre 7 con una aproximación de 3 cifras decimales.

23/7=3 r=2 n=3 En este caso se divide 23 entre 7 y obtenemos un cociente 3. Este seria la parte entera del número decimal.
20/7=2 r=6 n=3.2 Luego multiplicamos el residuo anterior 2 por 10 obteniendo 20 y lo dividimos con 7. El nuevo cociente es 2 y se coloca después de la parte entera separado por el punto decimal. Este sería la primera cifra decimal pedida de las tres que se buscan.
60/7=8 r=4 n=3.28 Multiplicamos el residuo anterior 6 con 10 para luego dividirlo con 7. Obtendremos como nuevo cociente el 8 y nuevo residuo 4, el 8 será la segunda cifra decimal solicitada.
40/7=5 r=5 n=3.285 Multiplicamos el residuo anterior 4 por 10 para luego dividirlo con 7. Obtendremos como nuevo cociente el 5 y nuevo residuo el 5, el 5 será la tercera cifra decimal solicitada.

Como sólo nos piden obtener la división con una aproximación de 3 cifras entonces ya no se continua. Y decimos que 23 entre 7 es igual a 3.285 con residuo 5. Es decir 23/7=3.285 r=5 que es la respuesta a este ejemplo.

Usando el algoritmo de la división tradicional tendríamos lo siguiente.

Se divide 23 entre 7, se coloca el 0 como la parte entera y el residuo es 2. Hasta aquí es una división normal con residuo.
Se añade al residuo por la derecha un 0 o mejor dicho se multiplica con 10, se divide 20 entre 7. Se coloca el nuevo cociente que es 2, después del punto seguido de la parte entera y se obtiene como nuevo residuo 6. El 2 sería la primera cifra decimal solicitada
Se añade al residuo por la derecha un 0 o mejor dicho se multiplica con 10, se divide 60 entre 7. Se coloca el nuevo cociente que es 8, después del 2 y este sería la segunda cifra decimal. Se obtiene un nuevo residuo 4.
Se añade al residuo por la derecha un 0 o mejor dicho se multiplica con 10, se divide 40 entre 7. Se coloca el nuevo cociente que es 5, después del 8 y este sería la tercera cifra decimal. Se obtiene un nuevo residuo 5. Como sólo nos piden obtener la división con una aproximación de 3 cifras entonces ya no se continua.

Los números decimales pueden ser negativos o positivos, en el caso de ser negativos el signo se coloca delante del número, es decir al lado izquierdo de la parte entera.

‒ Dividir un número entero o decimal con potencias de 10

La división de un número entero o un número decimal, con potencias de 10 consiste, en mover el punto decimal a la izquierda tantas cifras nos indique el valor que tenga el exponente de una potencia de 10. Si el número tiene menos cifras de lo que indica el exponente se completa con ceros la parte decimal y la parte entera es un cero. Dicho de otro modo, lo que se hace es desplazar el punto decimal hacia la izquierda tantos espacios nos indica el valor que tenga el exponente de una potencia de 10 y si el número tiene menos cifras de lo que indica el exponente se completa con ceros la parte decimal y la parte entera será un cero. Es decir:

4:105=0.00004 se movió el punto decimal 5 cifras a la izquierda, y sé completo con 4 ceros la parte decimal.
23:103=0.023 se movió el punto decimal 3 cifras a la izquierda, y sé completo con 1 cero la parte decimal.
458:106=0.000458 se movió el punto decimal 6 cifras a la izquierda, y sé completo con 3 ceros la parte decimal.
1123.56:102=11.2356 se movió el punto decimal 2 cifras a la izquierda.
132.59:101= 13.259 se movió el punto decimal 1 cifra a la izquierda.
85.94:102= 0.8594 se movió el punto decimal 2 cifras a la izquierda.
0.25x105= 0.00025 se movió el punto decimal 5 cifras a la izquierda, y sé completo con 3 ceros la parte decimal.
‒ Dividir decimal con entero o un entero con un decimal.

Para dividir un número decimal con un número entero, lo primero que debemos hacer es multiplicar ambos números por una potencia de 10 con un exponente igual a la cantidad de cifras decimales que tenga el número decimal a dividir. Dicho de otro modo se debe añadir al número entero una cantidad de ceros igual a la cantidad de cifras decimales que tenga el número decimal a dividir, para luego realizar la división sin tomar en cuenta el punto decimal del número decimal.

En el caso de querer dividir un entero con un decimal, haremos algo parecido, es decir multiplicamos ambos números por una potencia de 10 con un exponente igual a la cantidad de cifras decimales que tenga el número decimal que va a dividir al entero.

Ejemplo 1

Dividir 103.5 entre 23

Primero multiplicamos los números por una potencia de 10 con exponente 1, ya que 103.5 tiene una cifra decimal, con lo que tendremos que dividir 1035 entre 230.



El resultado de dividir 103.5 entre 23 es 4.5

Ejemplo 2

Dividir 544 entre 2.72

Primero multiplicamos los números por una potencia de 10 con exponente 2, ya que 2.72 tiene dos cifras decimal, con lo que tendremos que dividir 54400 entre 272.



El resultado de dividir 544 entre 2.72 es 200

En el caso de dividir un decimal con un entero, esta operación se puede hacer sin multiplicar ambos números por potencias de 10, y se hace como una división tradicional entre enteros, primero dividimos los dos números hasta obtener la parte entera del cociente y al momento de bajar o agregar la primera cifra decimal para obtener un nuevo dividendo parcial se coloca el punto decimal en el cociente y después se continúa obteniendo las demás cifras decimales del cociente.

Ejemplo 3

Dividir 88.2 entre 6

Primero dividimos hasta obtener la parte entera



Luego colocamos el punto decimal después del 14 y bajamos el 2 para formar un nuevo dividendo parcial y continuamos con la división hasta obtener las demás cifras decimales del cociente.



El resultado de dividir 88.2 entre 6 es 14.7
Ejemplo 4

Dividir 32.45 entre 3

Primero dividimos hasta obtener la parte entera



Luego colocamos el punto decimal después del 11 y bajamos el 5 para formar un nuevo dividendo parcial y continuamos con la división hasta obtener las demás cifras decimales del cociente.



El resultado de dividir 33.55 entre 3 es 11.183

‒ Dividir decimal con decimal.

Para dividir un número decimal con otro número decimal, en este caso lo que se debe hacer es convertir los números decimales a números enteros con la misma cantidad de cifras multiplicando por potencias de diez, en donde el exponente dé la potencia de diez debe ser igual a la cantidad de cifras del número decimal que tenga mayor cifras, y luego hacer la división.

Ejemplo 1

Dividir 3.24 entre 1.2

Primero multiplicamos los números por una potencia de 10 con exponente 2, ya que 3.24 tiene la mayor cantidad de cifras decimales,

3.24 x 102 = 324
1.2 x 102 = 120

Hacemos la división entre 324 y 120



Con lo que tenemos 3.24 : 1.2 = 2.7

Ejemplo 2

Dividir 2.3 entre 1.25

Primero multiplicamos los números por una potencia de 10 con exponente 2, ya que 1.25 tiene la mayor cantidad de cifras decimales,

2.3 x 102 = 230
1.25 x 102 = 125

Hacemos la división entre 230 y 125



Con lo que tenemos 2.3 : 1.25 = 1.04

Ejemplo 3

Dividir 0.2 entre 1.25

Primero multiplicamos los números por una potencia de 10 con exponente 2, ya que 1.34 tiene la mayor cantidad de cifras decimales,

0.2 x 102 = 20
1.25 x 102 = 125

Hacemos la división entre 20 y 125



Con lo que tenemos 0.2 : 1.25 = 0.16

Ejemplo 4

Dividir 1.4112 entre 0.032

Primero multiplicamos los números por una potencia de 10 con exponente 4, ya que 1.4112 tiene la mayor cantidad de cifras decimales,

1.4112 x 104 = 14112
0.032 x 104 = 320

Hacemos la división entre 14112 y 32


Con lo que tenemos 1.4112 : 0.032 = 0.16
‒ Axiomas de la división de decimales.

‒ Axiomas
Axiomas Simbólicamente

1

Axioma 01: Existe únicamente un numero decimal el uno, que al dividir a otro número decimal no altera el resultado de la división. .

Ejemplo 1:

8.3:1=8/3.

a:1=a

2

Axioma 02 : Cuando se divide el cero con cualquier otro numero decimal el resultado siempre será cero.

Ejemplo 1:

0:3.56=0

0:a=0,

0:0 no es posible.

a:0 no es posible.

3

Axioma 03: Uniforme. Si se dividen dos igualdades miembro a miembro, entonces la igualdad se mantiene. Siempre y cuando los miembros de la segunda igualdad sean diferentes de cero.

Ejemplo 1:

8.3=8.3 y 4.5=4.5, entonces 8.3:4.5=8.3:4.5

Si a=b y c=d, => a:c=b:d

↔ c≠0 y d≠0

4

Axioma 04: Uniforme. Si se divide una igualdad por cualquier numero decimal distinto de cero la igualdad se mantiene.

Ejemplo 1:

4.3=4.3, entonces 4.3:1.2=4.3:1.2

Si a=b, => a:c=b:c

↔ c≠0

5

Axioma 05: Monotonía. Cuando se divide un número positivo a cada miembro de una desigualdad, la desigualdad se mantiene.

Ejemplo 1:

8.3<9.2, entonces 8.3:5.2<9.2:5.2

Ejemplo 2:

4.3>1.2, entonces 4.3:2>1.2:2

Si a<b, => a:c<b:c

Si a>b, => a:c>b:c

↔ c>0 y c≠0

7

Axioma 06: Monotonía. Cuando se divide un número negativo a cada miembro de una desigualdad, la desigualdad se invierte.

Ejemplo 1:

8.3<9.2, entonces 8.3:-5.2>9.2:-5.2

Ejemplo 2:

4.3>1.2, entonces 4.3:-2>1.2:-2

Si a<b, => a:c>b:c

Si a>b, => a:c<b:c

↔ c<0 y c≠0

7

Axioma 07: Si se dividen miembro a miembro dos desigualdades de sentidos contrarios, entonces el resultado será una desigualdad con el sentido de la desigualdad que use sus miembros como dividendo. Siempre y cuando todos los números sean positivos.

Ejemplo 1:

8.3>1.4 y 1.5<6.5, 8.3:1.5>1.4:6.5

Ejemplo 2:

9.2>1.3 y 1.5<7.3, 9.2:1.5>1.3:7.3

Si a<b y c>d, => a:c<b:d

Si a>b y c<d, => a:c>b:d

↔ a>0, b>0, c>0, d>0

8

Axioma 08: Si se dividen miembro a miembro dos desigualdades del mismo sentido, el resultado será impredecible.

Ejemplo 1:

10.3>1.2 y 2.3>1.5, 10.3:2.3>1.2:1.5

Ejemplo 2:

3.4>1.2 y 8.3>1.4, 3.4:8.3<1.2:1.4

Ejemplo 3:

1.3<1.2 y 1.8<1.5, 1.3:1.8>1.2:1.5

Si a<b y c<d, => impredecible

Si a>b y c>d, => impredecible






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