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MATEMATICA I

MATEMATICA I

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22. POTENCIA Y RADICACIÓN CON DECIMALES.
22.1. POTENCIA DE NÚMEROS DECIMALES.
22. POTENCIA Y RADICACIÓN CON DECIMALES.
22.1. POTENCIA DE NÚMEROS DECIMALES.
22. POTENCIA Y RADICACIÓN CON DECIMALES.
22.1. POTENCIA DE NÚMEROS DECIMALES.

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‒ ¿Qué es la potencia con números decimales?

Al igual que la potencia con números naturales y enteros, la potencia con números decimales es la operación que consiste en multiplicar un número decimal tantas veces nos indica otro número decimal, al resultado se denomina potencia, el número decimal que se va a multiplicar tantas veces se denomina base y el número que indica cuantas veces se ha de multiplicar se conoce como exponente. Tal como se muestra a continuación:

En donde “a” es la base, “c” el exponente y “d” la potencia, esto se lee o se expresa como: “a” elevado a la “c” es “d”.

Cuando el exponente es un número decimal entonces, el exponente se debe convertir a una fracción y expresar la potencia como una radicación del siguiente modo:


En donde m/n es la fracción generatriz del número decimal “c”, en donde “n” se convierte en el índice de la radicación y “m” en el exponente del número decimal "a". Además, la potencia de “a” elevado a la “m”, se convierte en el radicando, es decir am es el nuevo radicando. Siempre se recomienda encerrar entre paréntesis las bases de una potencia de números fraccionarios.

Ejemplo 1.

Hallar la potencia de 0.51.5


En este ejemplo, se halla la fracción generatriz de los números 0.5 y 1.5, para luego hallar la raíz cuadrada de 1/8. Para sacar la raíz cuadrada de la fracción 1/8, lo que se hace es obtener la raíz por separado del numerador y denominador de la fracción 1/8, y como 8 no tiene raíz cuadrada exacta simplemente se deja indicado.

Para hallar la potencia de un número decimal exacto entonces se puede operar de acuerdo con la definición inicial de potencia o hallando su fracción generatriz, pero en caso de números decimales periódicos o periódicos mixtos, se debe hallar su fracción generatriz para de ese modo evitar la falta de precisión en algunos casos, o en su defecto usar el redondeo en caso de decimales periódicos o periódicos mixtos que tenga una cantidad de cifras superior a las centésimas.

Ejemplo 2.

Hallar la potencia de 2.32


Se puede hacer de dos formas la primera:




o hallando su fracción generatriz




Ejemplo 3.

Hallar la potencia de 1.62


En este caso lo recomendado es hallar su fracción generatriz




En caso la base sea un decimal negativo, hay que fijarse si el exponente es cifra par o impar para determinar el signo de su potencia.

Ejemplo 4.

Hallar la potencia de -2.32




En este caso el signo se mantiene porque la base no esta encerrada entre paréntesis.


Ejemplo 5.

Hallar la potencia de (-2.3)2




Ejemplo 6.

Hallar la potencia de (-2.3)3




Si el exponente es negativo, lo mejor es hallar la fracción generatriz del número decimal, invertir la fracción y hallar la potencia.

Ejemplo 7.

Hallar la potencia de 0.5-2




‒ Axiomas y teoremas de la potencia con números decimales.

En los siguientes teoremas las letras a,b y c representan números decimales.


‒ Axiomas
Axiomas Simbólicamente

1

Axioma 01: Clausura.La potencia de un número decimal es siempre otro número decimal.

 

Ejemplo 1: 2.33=12.167

 

Ejemplo 2: (-3.2)3=-32.768

an=c

2

Axioma 02: Elemento neutro. Existe un numero el 1, En donde todo numero decimal elevado a un exponente 1 es siempre el mismo numero decimal.

 

Ejemplo 1:(1.2)1=1.2.

 

Ejemplo 2:(8.3)1=8.3.

 

Ejemplo 3:(-5.4)1=-5.4

a1=a

3

Axioma 03: Todo número decimal elevado a un exponente 0 es siempre 1.

 

Ejemplo 1:(5.7)0=1

 

Ejemplo 2:(-5.7)0=1

 

Ejemplo 3:-(4.3)0=-1 En este ejemplo solo se eleva 4.3 a cero ya que el signo esta fuera de los paréntesis.

a0=1

4

Axioma 04: Si a los dos miembros de una igualdad se elevan al mismo exponente, la igualdad se mantiene.

 

Ejemplo 1:(5.3)5=(5.3)5

 

Ejemplo 2:(4.7)-5=(4.7)-5

an=bn

5

Axioma 05: Si a los dos miembros de una desigualdad se elevan al mismo exponente mayor que cero, la desigualdad se mantiene.

 

Ejemplo 1:4.3>2.3 entonces (4.3)5>(2.3)3

 

Ejemplo 2:3.7<9.7 entonces (3.7)3<(9.7)3

Si a<b, c>0 →ac<bc

Si a>b, c>0 →ac>bc

6

Axioma 06: Si a los dos miembros de una desigualdad se elevan al mismo exponente menor que cero, la desigualdad se invierte.

 

Ejemplo 1:4.3>2.3entonces(4.3)-2<(2.3)-2

 

Ejemplo 2:3.7<9.7 entonces(3.7)-2>(9.7)-2

Si a<b, c<0 →ac>bc

Si a>b, c<0 →ac<bc

7

Teorema 01: La multiplicación de potencias con el mismo exponente es otra potencia de igual exponente y cuya base es la multiplicación de las bases de las potencias que tienen el mismo exponente.

 

Ejemplo 1:(0.1)3* (0.2)3 * (0.3)3=(0.1 *0.2 *0.3)3=0.000000216

 

Ejemplo 2:(0.1)-3* (0.2)-3 =(0.1* 0.2)-3=125000

an·bn·cn=(a·b·c)n

8

Teorema 02: La división de dos potencias, en donde la segunda potencia es distinto de cero y tienen el mismo exponente es otra potencia de igual exponente y cuya base es la división de las bases de las potencias que tienen el mismo exponente.

 

Ejemplo 1:(0.3)2:(1.3)2 = {(0.3):(1.3)}2 =9/169

 

Ejemplo 2:(0.2)-2:(1.2)-2 ={(0.2):(1.2)}-2 =36

an:bn=(a:b)n

9

Teorema 03: La multiplicación de potencias de la misma base con exponentes diferentes, es otra potencia de la misma base en donde su exponente es la adición o sustracción de los exponentes de las potencias que se multiplican.

 

Ejemplo 1:(1.3)3·(1.3)-3·(1.3)4=(1.3)(3-3+4)=(1.3)4=2.8561

am·an·ao=am+n+o

10

Teorema 04:La división de dos potencias de bases iguales, en donde la segunda potencia es distinto de cero, es otra potencia de la misma base en donde su exponente es la diferencia de los exponentes de las potencias que se dividen.

 

Ejemplo 1:(0.2)8:(0.2)4=(0.2)(8-4)=(0.2)4=0.0256

 

Ejemplo 2:(0.3)2:(0.3)-2=(0.3)(2-(-2))=(0.3)(2+2)=(0.3)4=0.0081

am:an=am-n

11

Teorema 05: La potencia de una potencia es otra potencia de igual base y el exponente es la multiplicación de sus exponentes.

 

Ejemplo 1:

 

((((0.1)2)3)1)=(0.1)(2·3·1)=(0.1)6=0.000001

 

Ejemplo 2:

 

((((0.1)2)-3)1)=(0.1)(2·3·1)=(0.1)-6=1000000

((am)n)o=am·n·o






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