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MATEMATICA I

MATEMATICA I

MATEMATICA I


23. NOTACIÓN CIENTÍFICA.
23.2. OPERACIONES CON NOTACIÓN CIENTÍFICA.
23. NOTACIÓN CIENTÍFICA.
23.2. OPERACIONES CON NOTACIÓN CIENTÍFICA.
23. NOTACIÓN CIENTÍFICA.
23.2. OPERACIONES CON NOTACIÓN CIENTÍFICA.

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‒ Suma y resta.

Para sumar o restar números en notación científica estos deben tener la misma potencia de base 10, es decir las potencias de 10 deben tener el mismo exponente. Si todos los números a operar tienen la misma potencia de base 10, entonces se procede a sumar o restar solo las mantisas sin tomar en cuenta las potencias de base 10.

Ejemplo 1.

Operar los siguientes números: 2.5x103; 1.003x103; -2.156x103


Operamos las mantisas: 2.5+1.003-2.156=1.347, al resultado obtenido le indicamos la multiplicación de la potencia de 10 al cubo. Con lo que:


2.5x103+1.003x103-2.156x103 = 1.347x103

Pero si todos los números a operar tienen la misma potencia de base 10, debemos asegurarnos que todos los números en notación científica tenga potencias de 10 con el mismo exponente, entonces se deben homogenizar los números con el número que tenga una potencia de 10 con el mayor exponente. Una ves homogenizados los números en notación científica, entonces se pueden sumar o restar sus mantisas, sin tomar en cuenta sus potencias de 10. Suele suceder que a veces al sumar y restar un número en notación científica, la mantisa del número resultante, puede salirse del rango establecido, es decir pueden ser mayores que 10 o menores que 1, en estos casos se tiene que reconvertir el número.

Para reconvertir un número u homogenizar un número en notación científica, podemos hacer uso de una propiedad muy importante, que nos dice:

“ Si disminuimos en uno el exponente de la potencia de 10 de un número en notación científica, entonces el punto decimal de la mantisa se desplaza una cifra hacia la derecha, pero si aumentamos en uno el exponente de la potencia de 10 del número en notación científica, entonces el punto decimal de la mantisa se desplaza una cifra a la izquierda”
Ejemplo 2.

Operar los siguientes números en notación científica: -2.5x102 ; 1.5x10-2 ; 3.45x104; -1.001x103


Primero identificamos el número que tenga el mayor exponente de su potencia de base 10, en este caso ese número es: 3.45x104

Ahora debemos empezar a homogenizar los otros números:

−2.5x102=−0.025x104 Como el mayor exponente es 4, entonces el exponente se debe incrementar en 2, que es lo que falta para llegar a 4. Entonces se debe mover el punto decimal de la mantisa 2 cifras a la izquierda. Aunque -0.025x104, tiene una mantisa menor que 1, es válido para poder realizar la suma. El signo menos pertenece al número y no a la mantisa.
1.5x10-2=0.0000015x104 En este caso el exponente se debe incrementar en 6 unidades, ya que es lo que falta para llegar a 4, es decir 4–2=4+2=6. Entonces se debe mover el punto decimal de la mantisa 6 cifras a la izquierda.
-1.001x103=-0.1001x104 En este caso el exponente se incrementa en 1, entonces solo se mueve el punto decimal de la mantisa una cifra a la izquierda.

Ahora operamos las mantisas : -0.025+0.0000015+3.45-0.1001=3.3249015, al resultado obtenido le indicamos la multiplicación de la potencia de 10 al cuadrado, con lo que:


-2.5x102 + 1.5x10-2 + 3.45x104 – 1.001x103 = -0.025x104 + 0.0000015x104 + 3.45x104 - 0.1001x104 = 3.3249015x104

Ejemplo 3.

Operar los siguientes números en notación científica: 2.03x10-2 ; 3.01x10-2 ; -5.1x10-2


En este caso todos los números tienen la misma potencia en base 10, entonces solo se deben operar sus mantisas: 2.03+3.01-5.1=-0.06

Tal como se puede observar la mantisa es menor que 1, entonces debemos mover el punto decimal 2 cifras a la derecha, y disminuir el exponente de potencia 10, dos unidades, con lo que:


2.03x10-2+3.01x10-2-5.1x10-2=-0.06x10-2=-6x10-4

‒ Multiplicación y división.

Para multiplicar o dividir números en notación científica lo que se hace es multiplicar o dividir las mantisas por separado, y los exponentes de las potencias de base 10, se suman cuando se multiplican los números y se restan cuando estos se dividen. Al igual que en las sumas y restas, la mantisa del resultado puede estar fuera del rango permitido, es decir puede ser menor que 1 o mayor que 10, con lo que se debe reconvertir el resultado a notación científica.

Ejemplo 1.

Multiplicar los siguientes números en notación científica: -1.34x102 x 2.005x10-3 x 1.003x104


Primero se multiplican las mantisas con los signos de los números: -1.34x2.005x1.003 = -2.6947601

Segundo sumamos los exponentes de las potencias de 10: 2+(-3)+4=3

Finalmente formamos el nuevo número en notación científica: -2.6947601x103

Con lo que:


-1.34x102 x 2.005x10-3 x 1.003x104 = -2.6947601x103

Ejemplo 2.

Dividir los siguientes números en notación científica: 1.32x10-2 : 1.5x10-20


Primero se dividen las mantisas con los signos de los números: 1.32 : 1.5 = 0.88

Segundo restamos los exponentes de las potencias de 10: (-2)-(-20) = 18

Formamos el nuevo número en notación científica: 0.6x102

Tal como se puede observar la mantisa esta fuera del rango permitido entonces se debe reconvertir, para ello movemos el punto decimal una cifra a la derecha y el exponente de la potencia de 10 se disminuye en un unidad: 0.88x1018=8.8x1017

Con lo que:


1.32x10-2 : 1.5x10-20 = 0.88x1018 = 8.8x1017

‒ Potencia y radicación.

En el caso de la potencia, el proceso es hallar la potencia de las mantisas tomando en cuenta el signo del número y al exponente de la potencia de 10 se le multiplica el exponente de la potencia al que se va a elevar, el número científico. Aquí también la mantisa del resultado puede estar fuera del rango permitido, es decir puede ser menor que 1 o mayor que 10, con lo que se debe reconvertir el resultado a notación científica.

Ejemplo1.

Ejemplo 1.

Hallar la potencia de los siguientes números en notación científica: (-1.5x103)2 ; (1.2x10-2)3


Para (-1.5x103)2, elevamos a la potencia 2 la mantisa (-1.5)2=2.25, luego multiplicamos el exponente de la potencia de 10 por el 2 (103)2=103x2=106

Con lo que, (-1.5x103)2 = 2.25x106


Para (1.2x10-2)3, elevamos a la potencia la mantisa (1.2)3 = 1.728, luego multiplicamos el exponente de la potencia de 10 por el 3 (10-2)3=10-2x3=10-6

Con lo que, (1.2x10-2)3 = 1.728x10-6

En el caso de la radicación es importante transformar el exponente de la potencia de 10 a un múltiplo del índice de la radicación, esto se puede hacer aumentando o disminuyendo el exponente de la potencia de 10, lo que implica que el punto de la mantisa se desplazará a la izquierda si se aumenta o derecha si se disminuye. Después se halla la radicación de la mantisa tomando en cuenta el signo del número y el exponente de la potencia de 10 se divide con el índice del radicando.

Ejemplo 2.

Hallar la raíz de los siguientes números en notación científica: ;


Para , restamos en 1 el exponente de la potencia de 10 para que sea múltiplo de 2 con lo que tendremos , luego hallamos la raíz de la mantisa , después dividimos el exponente de la potencia de 10 con el índice 2,

Con lo que,


Para , restamos en 1 el exponente de la potencia de 10 para que sea múltiplo de 3 con lo que tendremos , luego hallamos la raíz de la mantisa, después dividimos el exponente de la potencia de 10 con el índice 3,

Con lo que,

Ejemplo 3.

Hallar la raíz de los siguientes números en notación científica: ;


Para , en este caso no restamos en 1 el exponente ya que este es múltiplo del índice de la raíz, solo debemos hallar la raíz de la mantisa , después dividimos el exponente de la potencia de 10 con el índice 2,

Con lo que,


Para , restamos en 2 el exponente de la potencia de 10 para que sea múltiplo de 3 con lo que tendremos , luego hallamos la raíz de la mantisa , después dividimos el exponente de la potencia de 10 con el índice 3,

Con lo que,

Al igual que sucede con las fracciones, para los números en notación científica, la raíz de un número negativo en notación científica es posible, si y solo si el índice es un número entero positivo impar.

Ejemplo 4.

Verificar si se puede hallar la raíz de los siguientes números en notación científica: ; ;


Para , restamos en 1 el exponente de la potencia de 10 para que sea múltiplo de 4 con lo que tendremos , luego hallamos la raíz de la mantisa , después dividimos el exponente de la potencia de 10 con el índice 4,

Con lo que,


Para , se determina que no tiene solución ya que el índice es par.

Con lo que, No tiene solución


Para , restamos en 2 el exponente de la potencia de 10 para que sea múltiplo de 7 con lo que tendremos , luego hallamos la raíz de la mantisa , después dividimos el exponente de la potencia de 10 con el índice 7,

Con lo que,

‒ Comparar números en notación científica.

Para poder saber si un número en notación científica es mayor o menor a otro número en notación científica, debemos tomar en cuenta lo siguiente: Si todos los números a comparar son positivos se evaluá los exponentes de sus potencias de 10 para determinar el mayor o menor de los números, pero si las potencias son iguales entonces se evalúan sus mantisas. Por otro lado, si todos los números a evaluar son negativos entonces el número que tenga el exponente de potencia de 10 menor que el otro será el mayor, pero si las potencias son iguales se evalúan sus mantisas considerando el signo.

Ejemplo 1.

Determinar si es verdad que 2.5x1040 es mayor que 1.5x1060


Fijándonos en los exponentes podemos ver que 60 es mayor que 40, entonces es falso que 2.5x1040 sea mayor que 1.5x1060

Ejemplo 2.

Determinar si es verdad que -2.5x1030 es menor que -2.5x10-30


En este caso -30 es menor que 30, entonces el mayor es -2.5x10-30 ya que los números que se comparan son negativos, con lo que es falso que -2.5x1030 sea menor que -2.5x10-30

Ejemplo 3.

Determinar si es verdad que 1.25x10100 es menor que 1.3x10100


En este caso se comparan las mantisas ya que las potencias de 10 son las mimas, con lo que es verdad que 1.25x10100 es menor que 1.3x10100

Ejemplo 4.

Determinar si es verdad que -1.1x1050 es mayor que -1.2x1050


En este caso se comparan las mantisas tomando en cuenta el signo del número, con lo que es verdad que -1.1x1050 es mayor que -1.2x1050

Ejemplo 5.

Ordenar de menor a mayor los siguientes números en notación científica: 1.002x1030 ; 2.458x10-20 ; 1.001x1030 ; -2.3x10-20 ; -2.3x10-50 ; 1.1x1080


Primero determinamos entre los negativos cual es el menor de todos ellos, el menor de todos ellos, será el que tiene el mayor exponente de su potencia de 10 que en este caso es -2.3x10-20, luego entre los positivos determinamos el mayor y será el que tiene el mayor exponente de su potencia de 10 que en este caso será 1.1x1080

Con lo que los números ordenados de menor a mayor son:


-2.3x10-20 ; -2.3x10-50 ; 2.458x10-20 ; 1.001x1030 ; 1.002x1030 ; 1.1x1080




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