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MATEMATICA I

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24. OPERACIONES COMBINADAS.
24.1. OPERACIONES COMBINADAS.
24. OPERACIONES COMBINADAS.
24.1. OPERACIONES COMBINADAS.
24. OPERACIONES COMBINADAS.
24.1. OPERACIONES COMBINADAS.

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‒ ¿Qué son las operaciones combinadas?

Las operaciones combinadas son aquellas en las que aparecen la suma, resta, multiplicación, división, potencias y radicales, en una sola operación a resolver. La resolución de estas operaciones combinadas o combinación de operaciones, obedecen a ciertos pasos, algoritmos o procedimientos que se deben tener en cuenta. En una operación combinada intervienen los signos de agrupación que son los paréntesis (), llaves {} y corchetes []. Estos signos de agrupación permiten agrupar las operaciones en grupos y estos grupos pueden estar unidos por una operación de suma, resta, multiplicación, división o estos grupos pueden estar incluidos en otro grupo de operaciones.

Ejemplo 1.

Grupos de operaciones que están unidos.

(4+3+6)x(8-7-2) En este caso las operaciones están unidos por la multiplicación
(4x5)+(2x8)+(20/5) En este caso las operaciones están unidos por las adiciones

Ejemplo 2.

Grupos de operaciones que están incluidos y a su vez unidos.

{(4+3)x(3+5)}+10 En este caso (4+3) y (3+5) están unidos por la multiplicación, (4+3)x(3+5) están incluidos como un grupo de operación por el uso de las llaves que lo encierran.
{[42x(3+5)]+2}-2 En este caso 42x(3+5) están incluidos como un grupo de operación por el uso de los corchetes, y [42x(3+5)]+2 están incluidos como un grupo de operación por el uso de las llaves que lo encierran.

Las operaciones combinadas pueden ser estructuras más complejas, estas estructuras estarán basadas en las fracciones, en las potencias y la radicación. En donde el numerador y denominador de una fracción, la base y el exponente de una potencia, el radicando y el índice de una radicación, pueden ser operaciones combinadas y estas a su vez pueden ser otra operación combinada basada en una fracción, en una potencia o en una radicación.

Ejemplo 3.

Operaciones combinadas basadas en fracciones.




Ejemplo 4.

Operaciones combinadas basadas en potencias


Ejemplo 5.

Operaciones combinadas basadas en radicaciones




‒ Resolución de operaciones combinadas.

Los pasos que rigen o se usan para la resolución de operaciones combinadas se basan en el método PEMDAS y son:

  1. Primero se deben resolver las operaciones encerradas entre los signos de agrupación.
    Si los grupos de operaciones están unidos se resuelven los grupos según el orden de escritura de izquierda a derecha.
    Si los grupos de operaciones están incluidos, se resuelven los grupos que están más incluidos o más en el interior hasta los que estén menos incluidos o más en el exterior.
  2. Segundo se deben operar las potencias y radicales. En el caso de escribir varias potencias usando el circunflejo como operador en una sola línea, entonces se resuelven según el orden de escritura de izquierda a derecha.
  3. Tercero se deben resolver las multiplicaciones y divisiones. Si solo hay multiplicaciones y divisiones se resuelven según el orden de escritura de izquierda a derecha. En el caso de un número al lado de un signo de agrupación, entonces este se debe considerar como una multiplicación después de operar primero lo que se encuentra dentro del grupo de operación.
  4. Cuarto se deben resolver las sumas y restas. Si solo hay sumas y restas entonces se resuelven según el orden de escritura de izquierda a derecha.

Este método de resolución de las operaciones combinadas es muy conocido como PEMDAS, que es un acrónimo en ingles que significa “Parentheses, Exponents, Multiplication, Division, Addition and Subtraction”, que traducido al español también coincide y significa: Paréntesis, Exponentes, Multiplicación, División, Adición y Sustracción.

Este acrónimo se usa mucho para poder recordar el orden, que se debe seguir para la resolución de operaciones combinadas. En donde paréntesis se refiere a los signos de agrupación y es lo primero que debes operar, después se operan los exponentes, que se refiere a resolver las potencias y radicales, la multiplicación y división sería el tercer paso, y finalmente se termina con las sumas y restas, que sería el cuarto paso.

‒ Operaciones combinadas escritas en calculadoras y computadoras (PEMDAS)

Debido al uso de calculadoras y computadoras las operaciones combinadas se suelen escribir en una sola línea, por lo que muchas veces suelen interpretarse incorrectamente. Por ejemplo operaciones combinadas como:



Se deben escribir en una sola línea de la siguiente manera:


(8+2)/2


El paréntesis indica que se debe sumar primero 8+2 para luego dividirlo y de esa manera obtener 5, pero si escribimos de la siguiente manera:


8+2/2


Estamos indicando que primero se debe resolver la división que en este caso será 1, y obtendremos como resultado 9. Es decir, si 8+2/2 no se hubiese escrito en una sola línea tendríamos lo siguiente:



Para escribir en una sola línea operaciones combinadas basadas en fracciones, potencias y radicación, lo recomendable es usar los signos de agrupación para indicar cuales son las operaciones combinadas que se usaran en el denominador o numerador, el índice de una radicación, o el exponente de una potencia. Por ejemplo la siguiente operación combinada



escrita correctamente en una línea será:


{4+1([35x(1/5)]/5)}/2


El circunflejo es un operador que se suele usar para expresar la potencia de un número cuando se escriben las operaciones en una línea; pero este operador generalmente solo se usa con hojas de cálculo, algunos lenguajes de programación y algunos editores de fórmulas matemáticas. Para usar el circunflejo con potencias la base se coloca al lado izquierdo y el exponente al lado derecho del circunflejo, tal como se muestra a continuación:


92 = 9^2


Pero los problemas aparecen cuando queremos expresar potencias como esta:



y está otra



Para el primer caso se debe escribir en una línea de la siguiente manera



y para la otra situación se debe escribir de la siguiente manera



el circunflejo ^ es un operador que opera de izquierda a derecha las potencias cuando hay más de un operador en una línea escrita, y para cambiar la jerarquía de operación se suelen usar los paréntesis, tal como sucede con las divisiones.

En el caso de las raíces, para escribirlas en una sola línea se suele usar el teorema siguiente:

“La radicación de una potencia es igual a la base de la potencia elevado a la división del exponente con el índice de la radicación”

es decir si queremos escribir en una sola línea lo siguiente:



Se haría del siguiente modo:



Debido a que estamos escribiendo la operación en una línea, las potencias siempre se han de resolver antes que las divisiones, y debido a eso se encierra entre paréntesis la fracción 1/4, si escribiéramos esta operación sin los paréntesis, entonces estaríamos dividiendo 8 entre 4.





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