‒ Operaciones sin signos de agrupación.
De acuerdo al método PEMDAS, cuando las operaciones son adiciones y sustracciones, estas se operan de izquierda a derecha, pero en estas situaciones se puede abreviar la operación usando ciertas propiedades, podemos agrupar las operaciones aditivas y sustractivas por separado, operarlas y después operar los resultados obtenidos, esto es posible, ya que estamos usando la propiedad asociativa. También se puede usar el opuesto de un número para simplificar o reducir las operaciones a realizar, es decir si hay un número positivo y otro negativo que es el opuesto de ese número entonces estos números se pueden ignorar en la operación combinada a realizar. Veamos algunos ejemplos.
Ejemplo 1
Operar 4+5+6+8+40
Para resolver estas operaciones simplemente se puede realizar de izquierda a derecha las operaciones, pero también podemos sumar sin tomar en cuenta el orden, ya que son todos números positivos, es decir podríamos sumar 4 y 6, luego sumar 5 y 8, y finalmente sumar 40 a los resultados obtenidos. Es decir estamos usando la propiedad asociativa, sumando los números que sean más fáciles de sumar.
4+5+6+8+40 10+5+8+40 10 es el resultado de 4+6 10+13+40 13 es el resultado de 5+8 50+13 50 es el resultado de 40+10 63 Finalmente se suma lo que queda
Ejemplo 2
Operar -15-2-1-10
En esta caso al ser también todos negativos o tener el mismo signo también se pueden operar sin tomar en cuenta el orden, aquí también estamos usando la propiedad asociativa para operar los números que sean más fáciles.
-15-2-1-10 -25-2-1 -25 es el resultado de -15-10 -25-3 -3 es el resultado de -2-1 -28 Finalmente se opera lo que queda
Ejemplo 3
Operar -4+5-8+3-1+6
En este caso las operaciones se pueden hacer de dos maneras la primera ir operando de izquierda a derecha y la segunda reordenar los números colocando los negativos a la derecha y los positivos a la izquierda, y después operar para obtener el resultado. Es decir aquí también usaremos la propiedad asociativa para operar por separado los números negativos y positivos.
Primer método.
-4+5-8+3-1+6 -1-8+3-1+6 -1 es el resultado de -4+5 -7+3-1+6 -7 es el resultado de 1-8 -4-1+6 -4 es el resultado de -7+3 -5+6 -5 es el resultado de -4-1 1 Finalmente se opera lo que queda
Segundo método.
-4+5-8+3-1+6 +5+3+6-4-8-1 Reordenamos colocando los números negativos a la derecha y los positivos a la izquierda 14-13 14 es el resultado de +5+3+6 y -13 es el resultado de -4-8-1 1 Finalmente se opera lo que queda
Ejemplo 4
Operar -4+2+6+3-1-6+4
En este ejemplo podemos usar el opuesto de un número para eliminar ciertos números en la operación y de ese modo quedarnos con una operación más simple a realizar.
-4+2+6+3-1-6+4 Aquí podemos retirar de la operación el -4 y 4, así como el 6 y -6, ya que son opuestos. 2+3-1 Luego seguimos operando para obtener el resultado final 4 Finalmente se opera lo que queda
Ejemplo 5
Operar 1-5-10+2-9-2+15
Aunque aquí aparentemente solo haya dos números opuestos el 2 y el -2, se puede también se pueden retirar o eliminar de la operación -5,-10 y +15, ya que -5 y -10 son -15, que es el opuesto de +15.
1-5-10+2-9-2+15 Aquí podemos retirar de la operación el -2 y +2, así como el -5,-10 y -15, ya que -5-10=-15. 1-91 Luego seguimos operando para obtener el resultado final -8
‒ Operaciones con signos de agrupación.
Cuando realizamos operaciones combinadas de adiciones y sustracciones usando signos de agrupación, y en ella todos los números son positivos, entonces se pueden ignorar los signos de agrupación y operar como si estos no estuvieran; pero, si hay una combinación de números positivos y negativos debemos tener ciertos cuidados. Generalmente en este tipo de operaciones combinadas se suele colocar un signo positivo o negativo delante o al lado izquierdo del signo de agrupación, cuando esto sucede si el signo es positivo entonces todo el resultado obtenido por la operación encerrada por el signo de agrupación no cambia, pero si este fuera negativo entonces el resultado cambiara de signo. En algunos casos cuando el signo que esta delante del signo de agrupación es negativo, se suele eliminar el paréntesis y luego cambiar el signo de todos los números que están encerrados por el signo de agrupación.
Ejemplo 1
Operar (4+5)+(8+3)+1+6
En este ejemplo las operaciones se pueden hacer ignorando los signos de agrupación, ya que todos los números involucrados en la operación son positivos.
(4+5)+(8+3)+1+6 = 4+5+8+3+1+6 = 27
Ejemplo 2
Operar (4+9)+(8+(3+2))+6
En este ejemplo al igual que el anterior las operaciones se pueden hacer ignorando los signos de agrupación, ya que todos los números involucrados en la operación son positivos.
(4+9)+(8+(3+2))+6 = 4+9+8+3+2+6 = 32
Ejemplo 3
Operar (4+5)-(8+3)-1+6
En este ejemplo tenemos un signo negativo delante de (8+3) por lo que podemos despejar esta agrupación operando lo que se encuentra dentro del paréntesis y después cambiar el signo al resultado.
(4+5)-(8+3)-1+6
(9)-(11)-1+6
9-11-1+6
3
Tal como se puede observar, se opera -(8+3) para obtener -(11), para luego borrar los paréntesis y quedarnos con -11.
Ejemplo 4
Operar 4+5)-(8+(3-1))+6
En este ejemplo tenemos un signo negativo delante (8+(3-1)), lo que debemos hacer es operar todo lo que esta dentro del paréntesis, incluyendo el (3-1), para luego cambiar el signo al resultado.
(4+5)-(8+(3-1))+6
(9)-(8+2)+6
9-(10)+6
9-10+6
5
Tal como se puede observar, se opera -(8+3) para obtener -(11), para luego borrar los paréntesis y quedarnos con -11.
‒ Operaciones combinadas de adiciones y sustracciones con fracciones.
Cuando usamos fracciones en las operaciones combinadas, primero se deben reducir aquellas fracciones reducibles y si es un número mixto convertirlo a una fracción impropia. Si las operaciones combinadas son sin signos de agrupación se debe hacer tal como se explicó en los capítulos 16.1 y 16.2, es decir podemos usar el método del aspa en caso sean solo dos fracciones, si son fracciones homogéneas solo operamos sus numeradores, y en caso sean heterogéneas las convertimos a homogéneas. Pero, en caso sean operaciones con signos de agrupación entonces se debe tener cuidado con los signos, es decir si hay un signo negativo delante o al lado izquierdo del signo de agrupación, entonces el resultado cambiara de signo.
Ejemplo 1
Operar
En este las operaciones no tienen signo de agrupación, por lo que se procede como normalmente se resuelve una operación de sumas y restas de fracciones. Hallamos el mcm de los denominadores. mcm(5,2,2)=10. Luego homogeneizamos las fracciones.
Ejemplo 2
Operar
En esta operación debemos resolver primero, lo que está en paréntesis o dicho de otro modo despejar el paréntesis, para luego operar el resto ya sin el paréntesis.24
