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MATEMATICA I

MATEMATICA I

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25. SISTEMAS DE NUMERACIÓN.
25.2. CONVERSIONES.
25. SISTEMAS DE NUMERACIÓN.
25.2. CONVERSIONES.
25. SISTEMAS DE NUMERACIÓN.
25.2. CONVERSIONES.

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Una de las tareas más comunes entre los sistemas de numeración posicional es la conversión entre uno y otro sistema de numeración posicional. A continuación veremos los métodos más comunes para convertir un número en otro sistema de numeración posicional de distinta base.

‒ Método descomposición polinómica de base n a decimal.

Todo número se puede descomponer de la siguiente forma:

En donde an,an-1,an-2,...,a3,a2,a1,a0 son las cifras del número y b es la base del sistema de numeración que se esta usando.

Haciendo uso de esa descomposición, que se conoce como descomposición polinómica, podemos convertir un número escrito en determinada base a un número en base decimal, el sistema al que estamos acostumbrados a usar.

Ejemplo 1

Convertir 45136 a base decimal o al sistema de numeración decimal


Descomponemos polinomicamente 45136 usando su base 6

45136=4x63+5x62+1x61+3x60

Resolvemos la expresión y el número obtenido será el nuevo número en base 10 o base decimal.

4x63+5x62+1x61+3x60 = 4x216+5x36+1x6+3x1=864+180+6+3=1053

Entonces 45136=1053

Ejemplo 2

Convertir 101012 a base decimal o al sistema de numeración decimal


Descomponemos polinomicamente 101012 usando su base 2

101012=1x24+0x23+1x22+0x21+1x20

Resolvemos la expresión y el número obtenido será el nuevo número en base 10 o base decimal.

1x24+0x23+1x22+0x21+1x20 = 1x16+0x8+1x4+0x2+1x1=16+0+4+0+1=21

Entonces 101012=21

Ejemplo 3

Convertir FA2316 a base decimal o al sistema de numeración decimal


Descomponemos polinomicamente FA2316 usando su base 16

FA2316=Fx16³+Ax162+2x161+3x160

Resolvemos la expresión y el número obtenido será el nuevo número en base 10 o base decimal.

Fx16³+Ax162+2x161+3x160=15x4096+10x256+2x16+3x1=61440+2560+32+3=64035

Entonces FA2316=64035

‒ Método Ruffini de base n a decimal.

Este método se puede hacer de dos maneras una tabulando los valores y el otro siguiendo el siguiente procedimiento, tomar la cifra que esta a la izquierda multiplicar con la base y sumarle la cifra a su derecha, al resultado volver a multiplicarlo por la base y sumarle la cifra siguiente a su derecha, y así sucesivamente hasta sumar la ultima cifra que esta a la derecha.

Para hacerlo tabulando los valores, se debe dibujar dos rectas una horizontal y otra vertical que corta el extremo izquierda de la recta horizontal, dejando un espacio encima de la recta horizontal se escribe el numero a convertir separando sus cifras con espacios, al lado izquierda de la recta vertical se escribe la base, luego la primera cifra de la izquierda se escriba debajo de la linea horizontal para luego multiplicarlo por la base, al resultado se escribe debajo de la siguiente cifra a la derecha del número, después se suma el resultado con esta cifra para colocar este nuevo resultado debajo de la recta horizontal, a la misma altura de la cifra que se uso para sumar, este resultado se multiplica con la base y se coloca debajo de la siguiente cifra a la derecha, se suman y se escribe el resultado debajo de la recta horizontal, y así sucesivamente hasta sumar la última cifra.

Ejemplo 1

Convertir 45136 a base decimal o al sistema de numeración decimal


Tabulando

Colocamos el número encima de la línea horizontal dejando un espacio y la base al lado izquierdo de la línea vertical.

Bajamos el 4 debajo de la linea horizontal, después multiplicamos este por 6 para colocarlo, debajo del 5.

Sumamos 24 con 5 y el resultado lo colocamos debajo la línea horizontal, para luego multiplicarlo con 6, y este resultado colocarlo debajo de 1.

Sumamos 174 con 1 y el resultado lo colocamos debajo la línea horizontal, para luego multiplicarlo con 6, y este resultado colocarlo debajo de 3.

Sumamos este resultado con 3 y de ese modo obtenemos 1053 que es el número en base decimal.


Por procedimiento


Multiplicamos la cifra de la izquierda 4 con la base 6 y le sumamos la siguiente cifra de la derecha 5

4x6=24+5=29

Multiplicamos 29 con la base y le sumamos la siguiente cifra de la derecha 1

29x6=174+1=175

Multiplicamos 175 con la base y le sumamos la siguiente cifra de la derecha 3

175x6=1050+3=1053

Como 3 es la última cifra por la derecha entonces ya no continuamos y 1053 es el número en base decimal

Ejemplo 2

Convertir 101012 a base decimal o al sistema de numeración decimal


Tabulando 101012=21




Por procedimiento


1x2=2+0=2

2x2=4+1=5

5x2=10+0=10

10x2=20+1=21

Ejemplo 3

Convertir FA2316 a base decimal o al sistema de numeración decimal


Tabulando FA2316=64035





Por procedimiento


15x16=240+10=250

250x16=4000+2=4002

4002x16=64032+3=64035

‒ Conversión decimal a base n.

Para convertir un numero del sistema decimal a otro sistema, el método que se usa es el de las divisiones sucesivas con la base a convertir. Se divide el número brindado (dividendo) entre la base requerido (divisor). Del resultado que se obtenga, nuevamente, se divide entre la base requerida o solicitada, y así sucesivamente hasta obtener un cociente menor o igual a la base a convertir. El nuevo número se forma con el último cociente y los restos que se hayan ido obteniendo, tomados en orden inverso.

Ejemplo 1

Convertir 1456 a base 8

1456/8=182 residuo=0

Se divide 1456 entre 8, el residuo 0 será la primera cifra de la derecha

182/8=22 residuo=6

Se divide 182 entre 8, el residuo 6 será la segunda cifra de la derecha

22/8=2 residuo=6

Se divide 22 entre 8, el residuo 6 será la tercera cifra de la derecha, pero como el cociente es 2 ya no se continua dividendo, ya que este es menor que la base

26608=1456

Ejemplo 2

Convertir 4581 a base 16

4581/16=286 residuo=5

Se divide 4581 entre 16, el residuo 5 será la primera cifra de la derecha

286/16=17 residuo=14

Se divide 286 entre 16, el residuo 14 será la segunda cifra de la derecha, pero como es en base 16 14 se reemplaza por la letra E.

17/16=1 residuo=1

Se divide 17 entre 16, el residuo 1 será la tercera cifra de la derecha, pero como el cociente es 1 ya no se continua dividendo, ya que este es menor que la base

11E58=4581

Ejemplo 3

Convertir 1089 a base 2

1089/2=544 residuo=1

Se divide 1089 entre 2, el residuo 1 será la primera cifra de la derecha

544/2=272 residuo=0

Se divide 544 entre 2, el residuo 0 será la segunda cifra de la derecha

272/2=136 residuo=0

Se divide 272 entre 2, el residuo 0 será la tercera cifra de la derecha

136/2=68 residuo=0

Se divide 136 entre 2, el residuo 0 será la cuarta cifra de la derecha

68/2=34 residuo=0

Se divide 68 entre 2, el residuo 0 será la quinta cifra de la derecha

34/2=17 residuo=0

Se divide 34 entre 2, el residuo 0 será la sexta cifra de la derecha

17/2= 8 residuo=1

Se divide 17 entre 2, el residuo 1 será la séptima cifra de la derecha

8/2=4 residuo=0

Se divide 8 entre 2, el residuo 0 será la octava cifra de la derecha

4/2=2 residuo=0

Se divide 4 entre 2, el residuo 0 será la novena cifra de la derecha

2/2=1 residuo=0

Se divide 2 entre 2, el residuo 0 será la décima cifra de la derecha, pero como el cociente es 1 ya no se continua dividendo, ya que este es menor que la base

100010000012 = 1089

‒ Conversión de base n a base k.

Cuando queremos convertir de una base distinta a la decimal a otra distinta de la base decimal, lo que se hace es convertir el numero a convertir a base 10 y después convertirlo a la base solicitada.

Ejemplo 1

Convertir 34235 a base 8


Lo primero es convertir 34235 a base 10, lo podemos hacer por el método polinomio o ruffini

3x5=15+4=19

19x5=95+2=97

97x5=485+3=488


Luego convertimos 488 a base 8 con divisiones sucesivas


488/8 = 61 residuo=0

61/8 = 7 residuo=5

7508 = 488


entonces 34235 = 7508

Ejemplo 2

Lo primero es convertir 101012 a base 10, lo podemos hacer por el método polinomico o Ruffini


1x2=2+0=2

2x2=4+1=5

5x2=10+0=10

10x2=20+1=21


Luego convertimos 21 a base 5 con divisiones sucesivas


21/5 = 4 residuo=1
415=21

entonces 101012 = 415

Ejemplo 3

Convertir AAF016 a base 12

Lo primero es convertir AAF016 a base 10, lo podemos hacer por el método polinomico o Ruffini


10x16=160+10=170

170x16=2720+15=2735

2735x16=43760+0=43760


Luego convertimos 43760 a base 12 con divisiones sucesivas


43760/12 = 3646 residuo=8
3646/12 = 303 residuo=10
303/12 = 25 residuo=3
25/12 = 2 residuo=1
213A812=43760

entonces AAF016 = 213A812




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