Una de las tareas más comunes, con números escritos en diferentes sistemas de numeración, es la conversión de los mismo a otros sistemas de numeración. En esta sección veremos los dos métodos más comunes para convertir un número de cualquier base al sistema decimal, que son el método por descomposición polinómica y el método Ruffini. Tambien, se explicará como convertir un número de base decimal a otro de cualquier base, usando el método de divisiones sucesivas. Finalmente, se explicará como convertir un número de base distinta a la decimal a otro sistema de numeración diferente a la decimal.
Todo número se puede descomponer de la siguiente forma:
En donde an,an-1,an-2,...,a3,a2,a1,a0 son las cifras del número y b es la base del sistema de numeración que se esta usando.
Haciendo uso de esa descomposición, que se conoce como descomposición polinómica, podemos convertir un número escrito en determinada base a un número en base decimal, el sistema al que estamos acostumbrados a usar.
Ejemplo 1.
Convertir 45136 a base decimal o al sistema de numeración decimal
- Descomponemos polinomicamente 45136 usando su base 6
45136 = 4x63 + 5x62 + 1x61 + 3x60
- Resolvemos la expresión y el número obtenido será el nuevo número en base 10 o base decimal.
4x63 + 5x62 + 1x61 + 3x60 = 4x216 + 5x36 + 1x6 + 3x1 = 864 + 180 + 6 + 3 = 1053
- Entonces 45136 = 1053
Ejemplo 2.
Convertir 101012 a base decimal o al sistema de numeración decimal
- Descomponemos polinomicamente 101012 usando su base 2
101012 = 1x24 + 0x23 + 1x22 + 0x21 + 1x20
- Resolvemos la expresión y el número obtenido será el nuevo número en base 10 o base decimal.
1x24 + 0x23 + 1x22 + 0x21 + 1x20 = 1x16 + 0x8 + 1x4 + 0x2 + 1x1 = 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 21
- Entonces 101012 = 21
Ejemplo 3.
Convertir FA2316 a base decimal o al sistema de numeración decimal
- Descomponemos polinomicamente FA2316 usando su base 16
FA2316 = Fx163 + Ax162 + 2x161 + 3x160
- Resolvemos la expresión y el número obtenido será el nuevo número en base 10 o base decimal.
Fx163 + Ax162 + 2x161 + 3x160 = 15x4096 + 10x256 + 2x16 + 3x1 = 61440 + 2560 + 32 + 3 = 64035
- Entonces FA2316 = 64035
Este método se puede hacer de dos maneras, una de ellas es tabulando los valores. Para ello se sigue el siguiente procedimiento:
Se debe dibujar dos rectas una horizontal y otra vertical que corta el extremo izquierda de la recta horizontal, dejando un espacio encima de la recta horizontal se escribe el numero a convertir separando sus cifras con espacios, al lado izquierda de la recta vertical se escribe la base, luego la primera cifra de la izquierda se escriba debajo de la linea horizontal para luego multiplicarlo por la base, el resultado obtenido, se escribe debajo de la siguiente cifra a la derecha del número, después se suma el resultado con esta cifra para colocar este nuevo resultado debajo de la recta horizontal, a la misma altura de la cifra que se uso para sumar, este resultado se multiplica con la base y se coloca debajo de la siguiente cifra a la derecha, se suman y se escribe el resultado debajo de la recta horizontal, y así sucesivamente hasta sumar la última cifra. La última suma obtenida al sumar la última cifra del número a convertir, es el número convertido al sistema de numeración decimal.
El otro método es siguiendo el procedimiento que se describe a continuación:
Se debe, tomar la última cifra de la izquierda del número, luego multiplicar con la base y sumarle la cifra a su derecha, al resultado obtenido, se debe volver a multiplicarlo por la base y sumarle la siguiente cifra a su derecha, y así sucesivamente hasta sumar la ultima cifra de la derecha. La última suma obtenida al sumar la última cifra de mla derecha del número a convertir, es el número convertido al sistema de numeración decimal.
Ejemplo 1.
Convertir 45136 a base decimal o al sistema de numeración decimal
Tabulando
Por procedimiento
- Multiplicamos la cifra de la izquierda 4 con la base 6 y le sumamos la siguiente cifra de la derecha 5
4x6 = 24 + 5 = 29
- Multiplicamos 29 con la base y le sumamos la siguiente cifra de la derecha 1
29x6 = 174 + 1 = 175
- Multiplicamos 175 con la base y le sumamos la siguiente cifra de la derecha 3
175x6 = 1050 + 3 = 1053
- Como 3 es la última cifra por la derecha entonces ya no continuamos y 1053 es el número en base decimal
Ejemplo 2.
Convertir 101012 a base decimal o al sistema de numeración decimal
Tabulando 101012 = 21
Por procedimiento
- 1x2 = 2 + 0 = 2
- 2x2 = 4 + 1 = 5
- 5x2 = 10+0 = 10
- 10x2 = 20+1 = 21
Ejemplo 3.
Convertir FA2316 a base decimal o al sistema de numeración decimal
Tabulando FA2316 = 64035
Por procedimiento
- 15x16 = 240 + 10 = 250
- 250x16 = 4000 + 2 = 4002
- 4002x16 = 64032 + 3 = 64035
Para convertir un numero del sistema decimal a otro sistema, el método que se usa es el de las divisiones sucesivas con la base a convertir. Se divide el número brindado (dividendo) entre la base requerida (divisor). Del resultado que se obtenga, nuevamente, se divide entre la base requerida o solicitada, y así sucesivamente hasta obtener un cociente menor o igual a la base a convertir. El nuevo número convertido a la base solicitada, se forma con el último cociente y los restos que se hayan ido obteniendo, tomados en orden inverso.
Ejemplo 1.
Convertir 1456 a base 8
Ejemplo 2.
Convertir 4581 a base 16
Ejemplo 3.
Convertir 1089 a base 2
Cuando queremos convertir de una base distinta a la decimal a otra distinta de la base decimal, lo que se hace es convertir el numero a convertir a base 10 y después convertirlo a la base solicitada.
Ejemplo 1.
Convertir 34235 a base 8
Lo primero es convertir 34235 a base 10, lo podemos hacer usando el método polinómico o el método Ruffini.
- 3x5 = 15 + 4 = 19
- 19x5 = 95 + 2 = 97
- 97x5 = 485 + 3 = 488
Luego convertimos 488 a base 8 con divisiones sucesivas
- 488/8 = 61, residuo 0
- 61/8 = 7, residuo 5
- 488 = 7508
entonces 34235 = 7508
Ejemplo 2.
Convertir 101012 a base 5
Lo primero es convertir 101012 a base 10, lo podemos hacer usando el método polinómico o el método Ruffini.
- 1x2 = 2 + 0 = 2
- 2x2 = 4 + 1 = 5
- 5x2 = 10 + 0 = 10
- 10x2 = 20 + 1 = 21
Luego convertimos 21 a base 5 con divisiones sucesivas
- 21/5 = 4, residuo 1
- 21 = 415
entonces 101012 = 415
Ejemplo 3.
Convertir AAF016 a base 12
Lo primero es convertir AAF016 a base 10, lo podemos hacer usando el método polinómico o el método Ruffini.
- 10x16 = 160 + 10 = 170
- 170x16 = 2720 + 15 = 2735
- 2735x16 = 43760 + 0 = 43760
Luego convertimos 43760 a base 12 con divisiones sucesivas
- 43760/12 = 3646, residuo 8
- 3646/12 = 303, residuo 10
- 303/12 = 25, residuo 3
- 25/12 = 2, residuo 1
- 43760 = 213A812
entonces AAF016 = 213A812