Un conjunto es un grupo de cosas distintas bien definidas y llamamos elementos a las cosas distintas que forman un conjunto. Los elementos de un conjunto pueden tener algo en común o, en su defecto, no tener nada en común; lo importante es que sus elementos sean distintos y bien definidos. Otra definición de conjunto es decir que toda colección de cosas distintas bien definidas es un conjunto. No es obligatorio que los elementos de un conjunto se parezcan o tengan algo en común; lo importante es que se sepa claramente qué elemento pertenece al conjunto y cuáles no. Cuando los elementos de un conjunto tienen algo en común, entonces existe una característica o propiedad que los define como similares o parecidos.
Un conjunto se considera también como una entidad única, es decir, que un conjunto con todos sus elementos puede ser un elemento de otro conjunto. Los elementos de un conjunto pueden ser números, figuras, conjuntos o cualquier otra cosa, y el conjunto en sí se considera como una sola unidad.
Si un conjunto es un grupo de cosas distintas, entonces esto nos dice que los elementos de un conjunto no pueden repetirse. Lo que importa es si un elemento pertenece o no pertenece al conjunto, y no cuántas veces se repite el elemento dentro del conjunto.
Los conjuntos se pueden determinar de dos formas, por extensión y por compresión. La determinación de un conjunto por compresión solo se da para aquellos conjuntos que tienen una característica o propiedad que define a los elementos como similares o parecidos.
Decimos que un conjunto se determina por extensión cuando se conocen y se da una lista de todos y cada uno de los elementos de un conjunto.
Ejemplo 1.
Determinar por extensión el conjunto de los días de la semana.
Este conjunto estará constituido por los siguientes elementos: Lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo. Y su representación simbólica es:
S = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo}
Siempre en la representación simbólica se usan letras mayúsculas para identificar el conjunto, y los elementos se encierran con llaves {} y separados por comas.
Ejemplo 2.
El conjunto de todos los números naturales menores que 10.
Este conjunto estará constituido por los siguientes elementos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Y su representación simbólica es:
M = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Los elementos de un conjunto pueden ser otros conjuntos. Para ello, se puede escribir el otro conjunto con todos sus elementos entre llaves o usar la letra mayúscula que lo representa.
Ejemplo 3.
Determinar por extensión el conjunto formado por todos los números menores que 10 y que tiene como elemento el conjunto B = {1,2,3}.
Este conjunto se define con los siguientes elementos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y el conjunto B = {1, 2, 3}. Y su representación se puede dar de dos formas:
Primera forma: M = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, {1, 2, 3}}.
Segunda forma: M = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, B}, en donde B = {1, 2, 3}.
En la segunda forma, siempre se deben especificar los elementos del conjunto que será un elemento del otro conjunto.
Decimos que un conjunto se determina por compresión cuando sus elementos se pueden describir con una o varias características o propiedades que lo definan como comunes o similares, y no se da una lista de cada uno de sus elementos.
Ejemplo 1.
Determinar por compresión el conjunto de los días de la semana.
Al determinar por compresión el conjunto, la propiedad será la frase: “un día de la semana”. Y simbólicamente su representación será:
S = {x : x es un día de la semana}
En donde x:x se debe leer como “x tal que x”; a veces se suele cambiar el símbolo : por la barra invertida. del siguiente modo:
S = {x/x es un día de la semana}
Ejemplo 2.
Determinar por compresión el conjunto de los números naturales menores que 10.
Al determinar por compresión el conjunto, la propiedad se puede expresar a través de una desigualdad “n < 10”, y también por otra propiedad que nos indique que son sólo números naturales, como la siguiente: x ∈
. Simbólicamente tenemos:
M = { x/x ∈
en donde x/x ∈
Si los elementos del conjunto no comparten características o propiedades que los hagan similares, entonces no se pueden determinar por compresión.
Ejemplo 3.
Indique si se puede determinar por comprensión el siguiente conjunto dado por extensión: A = {a, b, {1, 2}}.
El siguiente conjunto no se puede determinar por compresión, debido a que sus elementos no tienen una propiedad en común o una característica en común. Ya que las letras a y b no son conjuntos, y {1, 2} es un conjunto con dos números como elementos. Es decir, este conjunto está compuesto de dos letras y un conjunto numérico; esto nos dice que los elementos son diferentes, pero no tienen nada en común.
Por otro lado, existen conjuntos que es mejor determinarlos por compresión, pero no por extensión, como por ejemplo el siguiente: C = {x/x es un grano de arena de una playa} y otro ejemplo sería el siguiente: F = {x/x ∈ y, x > 15}
La cardinalidad de un conjunto es el número total de elementos que contiene un conjunto. Se calcula contando sus elementos distintos y se representa comúnmente como n(A) o card(A), donde A es el conjunto. Por ejemplo, dado el siguiente conjunto A = {1, 2, 3}, su cardinalidad es 3, o n(A) = 3, o card(A).
Ejemplo 1.
Determine la cantidad de elementos del siguiente conjunto. A = {2, 2, 2, 3, 3, 3}
Debemos observar que el conjunto tiene elementos repetidos, por lo que debemos simplificar el conjunto eliminando los elementos repetidos, quedándonos solo con uno de ellos. El conjunto entonces será: A = {2, 3}
Lo que haremos es contar los elementos del conjunto, con lo que n(A) = 2.
Ejemplo 2.
Determine la cantidad de elementos del siguiente conjunto. A = {x/x es una vocal de la palabra radar}
Debemos expresar el conjunto por extensión, por lo que el conjunto A con sus elementos es: A = {r, a, d}, contamos los elementos y n(A) = 3.
Ejemplo 3.
Determine la cantidad de elementos del siguiente conjunto. A = { {a,b} }
Este conjunto tiene como elemento a otro conjunto, siendo este el único, por lo que la cantidad de elementos de este es: n(A) = 1.
La relación de pertenencia nos permite establecer si un elemento es parte de un conjunto. Esta relación se establece entre un elemento y un conjunto, y no entre dos conjuntos.
Considere el conjunto de las vocales:
V = { a, e, i, o, u }
Podemos observar que la letra "a" se encuentra dentro del conjunto de las vocales, entonces diremos que la letra "a" pertenece al conjunto de las vocales y se simboliza de la siguiente forma.
a ∈ V
Ahora consideremos la letra "d", de ello podemos observar que esta no se encuentra dentro del conjunto de las vocales, entonces diremos que la letra "d" no pertenece al conjunto de las vocales y se simboliza de la siguiente forma:
d ∉ V
También debemos tener presente que los conjuntos que son elementos de otro conjunto cumplen con la relación de pertenencia, pero debemos tener cuidado cuando relacionamos los elementos del conjunto que es un elemento de otro conjunto. Consideremos el siguiente conjunto:
M = { 1, 2, 3, {3, 4} }
Aquí podemos observar que los elementos del conjunto M son: 1, 2, 3 y el conjunto {3, 4}. Podemos decir que 3 pertenece a M, y 3 también pertenece al conjunto {3, 4}; pero el 3 que pertenece al conjunto {3, 4} no es el mismo 3 del conjunto M, es decir, son dos elementos para diferentes conjuntos. El 4 no es elemento de M, con lo que 4 ∉ M, pero sí pertenece al conjunto {3, 4}. Es decir, los elementos del conjunto {3, 4} nunca pertenecerán al conjunto M, pero el conjunto {3, 4} sí pertenece a M. Lo explicado anteriormente se puede expresar de la siguiente forma:
3 ∈ M
3 ∈ {3, 4}
4 ∉ M
4 ∈ {3, 4}
{3, 4} ∈ M
La representación gráfica de un conjunto se hace con los diagramas de Venn, estos diagramas llamados así en honor a su creador, el matemático John Venn, matemático y filósofo británico. Los diagramas de Venn pueden ser representados por la enumeración de sus elementos o por una o varias características o propiedades que lo identifican inequívocamente.
Para su representación por la enumeración de sus elementos, los elementos que pertenecen a un conjunto se encierran con líneas curvas cerradas, y por fuera se escribe la letra mayúscula que identifica al conjunto.
Ejemplo 1.
Representar gráficamente el conjunto A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }
La representación gráfica del conjunto A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }, que también se puede definir por compresión como A = { x : x ∈
Para su representación por una o varias características que lo identifican inequívocamente, se suele hacer de varias maneras; una de ellas es dibujar el conjunto sin elementos, pero indicando la propiedad o característica que lo define y, en algunos casos, pintando el interior del conjunto con un color que ayude a su definición. Este tipo de diagramas generalmente se usa para representar conjuntos en donde sus elementos resultan un tanto difíciles de enumerar o también para representar conceptos.
Ejemplo 2.
Representar gráficamente el conjunto A = { x/x es un grano de arena }
La representación gráfica del conjunto A = { x/x es un grano de arena } se puede representar del siguiente modo:
A = {x/x es un grano de arena}
Los conjuntos como el siguiente M = {a, b, c, {c, h}} son conjuntos en donde tienen al menos un elemento como conjunto; en este conjunto, el conjunto {c, h} es un elemento del conjunto M. Los diagramas de Venn no fueron pensados para representar este tipo de conjuntos. Pero se pueden usar ciertas representaciones o diagramas. A estos diagramas ya no se les considera diagramas de Venn. El método más común para graficar estos conjuntos es encerrar con una línea curva cerrada los elementos del conjunto y, para el elemento que sea un conjunto, dibujar sus elementos encerrados en un rectángulo dentro del conjunto..
Ejemplo 3.
Representar gráficamente el conjunto M = {a, b, c, {1, 3}}.
Para su representación ya no usaremos los diagramas de Venn, y el conjunto {1, 3}, que es un elemento del conjunto M, se graficará dentro del conjunto M, encerrando sus elementos en un rectángulo, del siguiente modo:
Se conocen como conjuntos disjuntos a aquellos conjuntos que no tienen ningún elemento en común. Es decir, si dos conjuntos A y B son disjuntos, entonces ningún elemento del conjunto A pertenece al conjunto B, y ningún elemento del conjunto B pertenece al conjunto A.
Ejemplo 1.
Dados los siguientes conjuntos, A = {1, 2, 3, 4} y B = { x/x ∈
Ambos conjuntos son disjuntos, ya que los elementos del conjunto A no existen o no pertenecen al conjunto B. Esto se debe a que los elementos del conjunto B por extensión son 9, 10 y 11. Y estos elementos tampoco existen en el conjunto A.
La representación utilizando diagramas de Venn de dos conjuntos disjuntos es dibujando los conjuntos por separado sin que estos se coloquen uno encima de otro, o mejor dicho, se solapen o intersecten.
Ejemplo 2.
Dados los siguientes conjuntos, A = {15, 16, 17, 18} y B = {x/x ∈
Ambos conjuntos son disjuntos, ya que los elementos del conjunto A no existen o no pertenecen al conjunto B. Esto se debe a que los elementos del conjunto B por extensión son 4, 5, 6 y 7. Y estos elementos tampoco existen en el conjunto A. Su representación gráfica es la siguiente:
Para el caso de conjuntos en donde la definición de sus elementos se da por propiedades que lo identifican inequívocamente, es decir, en donde los elementos no se pueden enumerar, se suelen pintar estos conjuntos con colores distintos.
Ejemplo 3.
Dados los siguientes conjuntos, A = {x/x es un grano de arena de una playa} y B = {x/x es una estrella del universo}, determinar si son disjuntos y representarlos gráficamente.
Ambos conjuntos son disjuntos, ya que los granos de arena no pueden ser estrellas, y cada conjunto habla de elementos completamente distintos que no tienen nada en común. Su representación gráfica es la siguiente:
A = {x/x es un grano de arena de una playa}
B = {x/x es una estrella del universo}
Esta relación se manifiesta cuando se evidencia que todos los elementos de un conjunto también forman parte de otro conjunto. En consecuencia, se afirma que el primer conjunto es un subconjunto del segundo conjunto o que está incluido en el segundo conjunto. En otras palabras, denominamos subconjunto al conjunto que se encuentra incorporado en otro conjunto o al conjunto en donde todos sus elementos pertenecen también al otro conjunto.
Ejemplo 1.
Sea el conjunto A de los números naturales menores que 10 y mayores que 0, el conjunto B todos los números divisibles con 2 o pares menores que 10 y el conjunto V = { 1, 3, 10, 11, 12 }. Determinar y graficar si los conjuntos B y V están incluidos en A.
Determinamos el conjunto de los números naturales menores que 10, A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } y el conjunto de todos los números divisibles con 2 o pares menores que 10, B = { 2, 4, 6, 8}. De esto se puede observar lo siguiente: Que todos los elementos del conjunto B pertenecen al conjunto A; entonces el conjunto B está incluido en A; simbólicamente se escribe:
B ⊂ A
Pero no todos los elementos del conjunto V pertenecen al conjunto A, entonces se dice que el conjunto V no está incluido en el conjunto A; simbólicamente se escribe:
V ⊄ A
Y su representación gráfica con los diagramas de Venn de estos conjuntos se hace del siguiente modo:
Debemos tener presente que cuando un conjunto tiene como elemento a otro conjunto, este conjunto podría estar incluido o no en el conjunto que lo contiene y dependiendo de cómo este se defina. Por ejemplo, se tiene el siguiente conjunto N = {1, 2, 3 {a, b}}, aquí debemos observar y tener presente que el conjunto {a, b} es un elemento del conjunto N, y no esta incluido en el conjunto N, porqué los elementos del conjunto {a, b} no pertencen al conjunto N, entonces decimos que {a, b} ⊄ N y que {a, b} ∈ N. Ahora, observemos este conjunto P = {1, 2 ,3 , 4 {1, 2}}, este conjunto tiene como elemento al conjunto {1, 2}, y tal como se puede observar sus elementos si están presentes también en el conjunto P, por lo que entonces podemos decir que, {1, 2} ⊂ P y {1, 2} ∈ P. Esto nos dice, que un conjunto puede ser elemento y subconjunto de otro conjunto.
Se dice que dos conjuntos son iguales cuando los elementos de un conjunto también pertenecen al otro conjunto con el que se compara o se relaciona. Es decir, los elementos del conjunto A pertenecen al conjunto B. Otra forma de decir que dos conjuntos son iguales es cuando el primer conjunto está incluido en el segundo y el segundo también está incluido en el primero; esta última definición de igualdad de conjuntos se puede expresar simbólicamente del siguiente modo:
A=B ↔ A⊂B y B⊂A
Ejemplo 1.
Dados los siguientes conjuntos, A = {1, 2, 3, 4} y B = { x/x ∈
Se dice que ambos son iguales, ya que todos los elementos de A también pertenecen a B y viceversa, todos los elementos de B también pertenecen a A.
Ejemplo 2.
Dados los siguientes conjuntos, A = {1, 2, 3, 4} y B = {1, 2, 3, {1, 2}}, determinar si son iguales.
Debemos verificar si A está incluido en B. Para ello revisamos si todos los elementos de A están o pertenecen a B.
El elemento 1 sí pertenece a B, entonces: 1 ∈ B.
El elemento 2 sí pertenece a B, entonces: 2 ∈ B.
El elemento 3 sí pertenece a B, entonces: 3 ∈ B.
El elemento 4 sí pertenece a B, entonces: 4 ∈ B.
Entonces podemos determinar que A ⊂ BAhora debemos verificar si B está incluido en A. Para ello revisamos si todos los elementos de B están o pertenecen a A.
El elemento 1 sí pertenece a A, entonces: 1 ∈ A.
El elemento 2 sí pertenece a A, entonces: 2 ∈ A.
El elemento 3 sí pertenece a A, entonces: 3 ∈ A.
El elemento {1, 2} no pertenece a A, entonces: {1, 2} ∉ A
Entonces podemos determinar que B ⊄ A, porque el cuarto elemento no pertenece a A.Tal como se puede observar, podemos determinar que A no es igual a B, porque B ⊄ A.
Si dos conjuntos tienen la misma cantidad de elementos o, mejor dicho, si la cardinalidad de ambos conjuntos es la misma, entonces esto no significa que los conjuntos sean iguales, pero si tienen una cantidad distinta de elementos, entonces podemos afirmar que no son iguales. Cuando la cardinalidad de dos conjuntos es igual, entonces debemos comprobar si los elementos de un conjunto también pertenecen al otro. Adicionalmente, si dos conjuntos poseen la misma cantidad de elementos, podemos decir que los conjuntos son equivalentes, aunque no iguales.
Ejemplo 3.
Dados el conjunto A = {x/x una letra de la palabra radar} y B = {1, 2}, determinar si son iguales.
En este caso, primero determinemos los elementos del conjunto A y su cardinalidad.
Al conjunto A por extensión es A = {r, a, d} y su cardinalidad es n(A) = 3.Para el conjunto B, tenemos que n(B) = 2.
Si n(A) > n(B), entonces no son iguales.