Los números naturales aparecieron o se crearon por la necesidad del hombre de contar o de saber lo que poseía, y los números enteros se crearon para poder expresar cosas que faltan o no se poseen, como una deuda financiera.

Con los números naturales se pueden hacer sumas y multiplicaciones, pero no todos los números naturales se pueden usar para hacer restas o divisiones. El hecho de que con los números naturales no podamos hacer una resta cuando el minuendo es mayor que el sustraendo obligó también al hombre a crear el conjunto de los números enteros. Otro motivo de la creación de los números enteros está en que existen muchas situaciones en las que los números naturales no nos permiten representar ciertas cantidades, como por ejemplo la temperatura bajo cero y la profundidad a la que se sumerge un submarino con respecto al nivel del mar, etc. Veamos dos ejemplos, en donde el primero tiene solución con números naturales y el segundo no.

Ejemplo 1.

Jorge invirtió S/ 10 000 PEN en un negocio, pero a fin de mes gastó S/ 5 000 PEN. ¿Cuánto dinero le queda?

10 000 - 5 000 = 5 000

En este ejemplo se puede observar que podemos hacer una resta, ya que la cantidad de dinero que se gastó representa el número que tiene que quitarle a 10 000 para obtener los 5000, que es el dinero que le queda.

Ejemplo 2.

Jorge invirtió S/ 10 000 PEN en un negocio, pero a fin de mes gastó S/ 15 000 PEN. ¿Cuánto dinero le queda?

10 000 - 15 000 = ?

En esta situación se puede observar que no podemos hacer una resta, ya que la cantidad de dinero que se gastó y que representa el número que tiene que quitarle a 10 000 es mayor. No obstante, podemos restar los números al revés, es decir, 15 000 - 10 000, que nos da 5000, pero esa cantidad en sí no representa lo que le queda, sino que más bien representa la cantidad de dinero que debe o que posiblemente pidió prestado para poder continuar con su negocio. Cantidades así no podemos representarlas con los números naturales, ya que esa cantidad en sí es algo que Jorge no tiene y no lo puede contar.

Para dar solución a estos problemas necesitamos de los números enteros. Pero antes debemos conocer lo que son los números negativos y positivos. Un número negativo es cualquier número menor que 0, y un número positivo es cualquier número mayor que 0. De esto también podemos deducir que los números naturales están compuestos del 0 y los números positivos.

Un número negativo se representa con un signo - delante del número, y un número positivo se representa con un signo + delante del número, aunque en el caso de los números positivos no es necesario usar el signo +, a menos que se requiera.

El conjunto de los números negativos se expresa del siguiente modo:

ℤ^-={x/x, x<0}

En donde x es cualquier número negativo y este es menor que 0, y los números positivos se expresan del siguiente modo:

ℤ⁺={x/x, x>0}

En donde x es cualquier número positivo y mayor que cero.

Ejemplo 3.

Escribir los siguientes números.

Enunciado	número
Tres negativo	-3
Cuatro positivo	+4 o 4
Cinco grados bajo cero	-5
Doce grados de calor	+12 o 12
El nevado tiene una altura de 4000 metros sobre el nivel del mar.	+4000 o 4000
El submarino se encuentra a 2000 metros bajo el nivel del mar.	-2000
Juan debe 300 soles.	S/. - 300 PEN

Los números negativos, el 0 y los números positivos formarán lo que se conoce como el conjunto de los números enteros. Los números enteros se suelen representar de la siguiente manera:

ℤ={-∞, ..., -11, -10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ..., ∞}

El símbolo ℤ se usa para representar a los números enteros, y ℤ⁺ para los números positivos y ℤ^- para los negativos. Al igual que los números naturales, estos son infinitos, pero son infinitos positivos ∞ e infinitos negativos -∞.

Ahora que ya se explicó sobre los números negativos, podemos solucionar el problema del ejemplo 2.

Ejemplo 4.

Jorge invirtió S/ 10 000 PEN en un negocio, pero a fin de mes gastó S/ 15 000 PEN. ¿Cuánto dinero le queda?

10 000 - 15 000 = ?

Obviamente, no podemos restar 10 000 de 15 000, pero podemos hacerlo al revés; es decir, restamos 15 000 de 10 000, y obtendremos 5000. Y como estos cinco mil representan una deuda, y es algo que Jorge no tiene y por ende no puede contarlo, entonces es algo que no podemos representar con los números naturales, para lo cual debemos usar los números negativos y representar los 5 000 como -5 000. Que sí representa algo que no tiene Jorge, y que es la cantidad de dinero que ahora debe Jorge. Y la respuesta a este problema es que a Jorge no le quedó nada y que él debe o tiene una deuda pendiente de S/ -5000 PEN.