Al igual que los números naturales también los números enteros se pueden comparar. Pero decimos que dos números enteros son iguales si representan la misma cantidad de cosas y tienen el mismo signo. Es decir 4 puede representar 4 objetos y -4 también puede representar 4 objetos, pero ambos no son iguales ya que el 4 representa algo que uno tiene y el -4 algo que uno no tiene, eso hace que los números 4 y -4 sean diferentes o no iguales. Es decir 4≠-4.
Ejemplo 1.
Si en una cesta de manzanas, después de contarlas obtenemos que hay 8 manzanas y en otra cesta de manzanas, después de contarlas obtenemos que hay 8 manzanas, entonces decimos que ambas cestas tienen la misma cantidad de manzanas, entonces decimos que 8 es igual a 8. Usando el símbolo igual se escribe 8=8.
Ejemplo 2.
Si en una cesta de manzanas, después de contarlas obtenemos que hay 8 manzanas de más y en otra cesta de manzanas, después de contarlas obtenemos que faltan 8 manzanas, que se representa con -8, entonces decimos que ambas cestas no tienen la misma cantidad de manzanas, y que 8 no es igual a -8. Usando el símbolo de desigualdad se escribe 8≠-8.
Como sucedía con los números naturales en los números enteros, a las cantidades que se comparan para saber si son iguales o desiguales se les llama miembros de la igualdad o desigualdad, siendo el primer miembro la cantidad que esta a la izquierda del símbolo de la igualdad o desigualdad y segundo miembro a la cantidad que esta a la derecha.
Para representar la desigualdad con números enteros también se usan los símbolos >, <, pero con una clara diferencia. Ya que se debe tener en cuenta a los números negativos. Y como se menciono anteriormente que todo número negativo es menor que cero, entonces esto nos dice que cualquier número negativo es menor que cualquier número positivo, o cualquier número positivo es mayor que cualquier número negativo.
Ejemplo 3.
Determnie si las siguientes desigualdades se cumplen: 3>-3, 4>-2, 0>-1, -2<5, -3<0, -19<19
3>-3, se cumple, porque 3 es positivo.
4>-2, se cumple porque 4 es positivo.
0<-1, no se cumple porque 0, siempre es mayor que cualquier número negativo.
-2>5, no se cumple porque -2 es negativo y este debe ser menor que cualquier número positivo.
-3<0, se cumple porque el 0 siempre se mayor que cualquier número negativo.
-19<19, se cumple porque el el número -19 negativo es menor que el 19 positivo.
Si queremos saber si un número positivo es mayor o igual que otro número positivo se hace igual que los números naturales. Pero con los números negativos es distinto. Si queremos saber si un número negativo es mayor o menor que otro número negativo, entonces se dice que es menor el número negativo, que sin considerar el signo, representa una cantidad mayor que la otra, y es mayor si el número negativo al no considerar el signo, es menor que la otra cantidad a comparar.
Ejemplo 4.
Determnir si se cumplen las siguientes desiguladades:
-3<-1, si cumple, porque si consideramos a los números sin signo 3>1
-5<-15, si cumple, porque si consideramos a los números sin signo 5<15
-3<-2, si cumple, porque si consideramos a los números sin signo 3>2
-5>-8, si cumple, porque si consideramos a los números sin signo 5<8
También se dice que un número negativo es mayor que otro cuando este esta más cerca al 0, según la recta numérica o es menor que otro cuando este se aleja del 0, según la recta numérica. La definición de igualdad y desigualdad se puede generalizar explicándolo simbólicamente del siguiente modo:
En donde a y b representan cualquier numero entero. Existen otros símbolos de desigualdad que son, el mayor o igual que cuyo símbolo es ≥, y el menor o igual que cuyo símbolo es ≤, en donde:
Ejemplo 5.
Indicar si las siguientes desiguldades estan bien escritas: 4≥3, 4≥4,-1≥-3, -2≥-2,
4≥3, esta relación se cumple porque 4 es mayor que 3, aunque este no sea igual a 3
4≥4, esta relación se cumple porque 4 es igual a 4, aunque el primero no sea mayor.
-1≥-3, esta relación se cumple porque -1 es mayor que -3, aunque este no sea igual.
-2≥-2, esta relación se cumple porque -2 es igual a -2, aunque el primero no sea mayor.
Ejemplo 6.
Indicar si las siguientes desiguldades estan bien escritas: 4≤5, 4≤4, -9≤-5, -4≤-4,
4≤5, esta relación se cumple porque 4 es menor que 5, aunque este no sea igual a 5
4≤4, esta relación se cumple porque 4 es igual a 4, aunque el primero no sea menor.
-9≤-5, esta relación se cumple porque -9 es menor que -5, aunque este no sea igual a -5
-4≤-4, esta relación se cumple porque -4 es igual a -4, aunque el primero no sea menor.
Los siguientes axiomas son los mismos de los números naturales pero con la diferencia de que las letras a,b y c representan ahora números enteros.
Axioma 01: Reflexivo Todo número es igual a sí mismo.
a=a
Axioma 02: Simetría. Si un número es igual a otro, éste es igual al primero.
Si a=b, ⇒ b=a.
Axioma 03: Transitiva Si un número es igual a otro y éste es igual a un tercero, entonces el primero es igual al tercero.
Si a=b y b=c, ⇒ a=c.
Axioma 04: Si un número es mayor que otro y éste es mayor que un tercero, entonces el primero es mayor que el tercero.
Si a>b y b>c, ⇒ a>c.
Axioma 05: Si un número es menor que otro y éste es menor que un tercero, entonces el primero es menor que el tercero.
Si a<b y b<c, ⇒ a<c.
Axioma 06: Si un número es mayor que otro y éste es igual a un tercero, entonces el primero es mayor que el tercero.
Si a>b y b=c ⇒ a>c.
Axioma 07: Si un número es menor que otro y éste es igual a un tercero, entonces el primero es menor que el tercero.
Si a<b y b=c ⇒ a<c.