‒ Igualdad y desigualdad.
Al igual que los números naturales también los números enteros se pueden comparar. Pero decimos que dos números enteros son iguales si representan la misma cantidad de cosas y tienen el mismo signo. Es decir 4 puede representar 4 objetos y -4 también puede representar 4 objetos, pero ambos no son iguales ya que el 4 representa algo que uno tiene y el -4 algo que uno no tiene, eso hace que los números 4 y -4 sean diferentes o no iguales. Es decir 4≠-4.
Ejemplo 1.
Si en una cesta de manzanas, después de contarlas obtenemos que hay 8 manzanas y en otra cesta de manzanas, después de contarlas obtenemos que hay 8 manzanas, entonces decimos que ambas cestas tienen la misma cantidad de manzanas, entonces decimos que 8 es igual a 8. Usando el símbolo igual se escribe 8=8.
Ejemplo 2.
Si en una cesta de manzanas, después de contarlas obtenemos que hay 8 manzanas de más y en otra cesta de manzanas, después de contarlas obtenemos que faltan 8 manzanas, que se representa con -8, entonces decimos que ambas cestas no tienen la misma cantidad de manzanas, y que 8 no es igual a -8. Usando el símbolo de desigualdad se escribe 8≠-8.
Como sucedía con los números naturales en los números enteros, a las cantidades que se comparan para saber si son iguales o desiguales se les llama miembros de la igualdad o desigualdad, siendo el primer miembro la cantidad que esta a la izquierda del símbolo de la igualdad o desigualdad y segundo miembro a la cantidad que esta a la derecha.
Para representar la desigualdad con números enteros también se usan los símbolos >, <, pero con una clara diferencia. Ya que se debe tener en cuenta a los números negativos. Y como se menciono anteriormente que todo número negativo es menor que cero, entonces esto nos dice que cualquier número negativo es menor que cualquier número positivo, o cualquier número positivo es mayor que cualquier número negativo.
Ejemplo 3.
3>-3
4>-2
0>-1
-2<5
-3<0
-19<19
Si queremos saber si un número positivo es mayor o igual que otro número positivo se hace igual que los números naturales. Pero con los números negativos es distinto. Si queremos saber si un número negativo es mayor o menor que otro número negativo, entonces se dice que es menor el número negativo, que sin considerar el signo, representa una cantidad mayor que la otra, y es mayor si el número negativo al no considerar el signo, es menor que la otra cantidad a comparar.
Ejemplo 4.
-3<-1, porque, si consideramos a los números sin signo 3>1
-5>-15, porque, si consideramos a los números sin signo 5<15
-3<-2, porque, si consideramos a los números sin signo 3>2
-5>-8, porque, si consideramos a los números sin signo 5<8
También se dice que un número negativo es mayor que otro cuando este esta más cerca al 0, según la recta numérica o es menor que otro cuando este se aleja del 0, según la recta numérica. La definición de igualdad y desigualdad se puede generalizar explicándolo simbólicamente del siguiente modo:
Símbolo | Descripción |
a=b |
a es igual a b, si a y b representan las mismas cantidades. |
a≠b |
a no es igual a b, si a y b representan distintas cantidades. |
a>b |
a es mayor que b, si a representa una cantidad mayor que b. |
a<b |
a es menor que b, si a representa una cantidad menor que b. |
En donde a y b representan cualquier numero entero. Existen otros símbolos de desigualdad que son, el mayor o igual que cuyo símbolo es ≥, y el menor o igual que cuyo símbolo es ≤, en donde:
Símbolo | Descripción |
a≥b |
a es mayor o igual que b, si a representa una cantidad mayor o igual a b. Es decir la relación de desigualdad se cumple cuando la cantidad a es igual o en su defecto es mayor que b. Ejemplos. 4≥3, esta relación se cumple porque 4 es mayor que 3, aunque este no sea igual a 3 4≥4, esta relación se cumple porque 4 es igual a 4, aunque el primero no sea mayor. -1≥-3, esta relación se cumple porque -1 es mayor que -3, aunque este no sea igual. -2≥-2, esta relación se cumple porque -2 es igual a -2, aunque el primero no sea mayor. |
a≤b |
a es menor o igual que b, si a representa una cantidad menor o igual a b. Es decir la relación de desigualdad se cumple cuando la cantidad a es igual o en su defecto es menor que b. Ejemplos. 4≤5, esta relación se cumple porque 4 es menor que 5, aunque este no sea igual a 5 4≤4, esta relación se cumple porque 4 es igual a 4, aunque el primero no sea menor. -9≤-5, esta relación se cumple porque -9 es menor que -5, aunque este no sea igual a -5 -4≤-4, esta relación se cumple porque -4 es igual a -4, aunque el primero no sea menor. |
‒ Axiomas de la igualdad y desigualdad.
Los siguientes axiomas son los mismos de los números naturales pero con la diferencia de que las letras a,b y c representan ahora números enteros.
Nº | Axiomas | Simbolicamente |
Reflexiva. |
||
1 |
Axioma 01: Todo número es igual a sí mismo. |
a=a |
Simetría. |
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2 |
Axioma 02: Si un número es igual a otro, éste es igual al primero. |
Si a=b, ⇒ b=a. |
Transitiva. |
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3 |
Axioma 03: Si un número es igual a otro y éste es igual a un tercero, entonces el primero es igual al tercero. |
Si a=b y b=c, ⇒ a=c. |
4 |
Axioma 04: Si un número es mayor que otro y éste es mayor que un tercero, entonces el primero es mayor que el tercero. |
Si a>b y b>c, ⇒ a>c. |
5 |
Axioma 05: Si un número es menor que otro y éste es menor que un tercero, entonces el primero es menor que el tercero. |
Si a<b y b<c, ⇒ a<c. |
6 |
Axioma 06: Si un número es mayor que otro y éste es igual a un tercero, entonces el primero es mayor que el tercero. |
Si a>b y b=c ⇒ a>c. |
7 |
Axioma 07: Si un número es menor que otro y éste es igual a un tercero, entonces el primero es menor que el tercero. |
Si a<b y b=c ⇒ a<c. |
Última revisión: 09/12/2018.