‒ ¿Qué es la adición y sustracción de números enteros?
La suma y resta en los números enteros es muy diferente a como se hace con los números naturales, cuando hacemos operaciones de suma y resta con números enteros lo que estamos haciendo es adicionar y sustraer cantidades en dicha operación. Por lo que la suma en los números enteros se conoce como adición y a la resta en los números enteros se conoce como sustracción. Los números positivos cumplen el papel de adicionar cantidades en una operación y los números negativos cumplen el papel de sustraer cantidades en la operación. Cuando se quiere adicionar y sustraer números enteros, estos simplemente se escriben con su signo correspondiente para realizar la operación.
Dentro de los números enteros y otros números que se estudiarán más adelante, no se suele hacer mucha diferencia entre las adiciones y sustracciones, ambas se se suelen mencionar como una sola operación, es decir se suele decir: “Operar los siguientes números enteros” o “Realizar la siguiente operación con números enteros”, en ves de decir: “Adicionar o sustraer los siguientes números enteros” o “Realizar la adición y sustracción de los siguientes números enteros”
Antes de aprender a adicionar y sustraer varios números enteros, debemos aprender a adicionar y sustraer dos números enteros, y para ello se dan los siguientes algoritmos o procedimientos:
- Si los dos números enteros tienen el mismo signo, entonces se adicionan o suman los números como si fuera una adición normal y se coloca al mismo resultado el signo de estos números.
- Si los dos números enteros tienen distinto signo, entonces se comparan los números sin tomar en cuenta su signo y se resta o sustrae el número mayor del menor, y al resultado se le coloca el signo que le corresponde al número mayor que se escogió sin considerar su signo.
- Si los dos números enteros tienen distinto signo y son iguales sin considerar el signo entonces el resultado será 0.
Ejemplo 1.
Operar los siguientes números enteros del mismo signo: -5 y -3, +5 y +5, -3 y -3.
-5-3=-8
+5+5=+10
-3-3=-6
Tal como se puede observar al haber dos números negativos estos se suman sin tomar en cuenta el signo, es decir -5-3=-8, se pudo escribir como una suma de -5 y -3 algo así como -5+-3=-8.
Ejemplo 2.
Operar los siguientes números enteros con signos distintos: -5 y 3, 9 y -3, -8 y 2, 2 y -5.
-5+3=-2 , se resta 5 de 3, y se toma el signo -, porque 5 es mayor que 3.
9-3=6, se resta 9 de 3, y se toma el signo +, porque 9 es mayor que 3.
-8+2=-6, se resta 8 de 2, y se toma el signo -, porque 8 es mayor que 2.
2-5=-3, se resta 5 de 2, y se toma el signo -, porque 5 es mayor que 2.
Ejemplo 3.
Operar los siguientes números enteros con signos distintos: -5 y 5, 9 y -9.
-5+5=0
9-9=0
Tal como se puede observar, en la operación -5+5=0, ambos números son iguales sin considerar el signo, por consiguiente el resultado será 0. Lo mismo sucederá con 9 y -9.
Para adicionar y sustraer varios números enteros simplemente escribimos los números con sus signos correspondientes, y comenzamos a operar tomando de dos en dos, desde la izquierda hacia la derecha.
Ejemplo 4.
Adicionar y sustraer los siguientes números 2,-3,4,-15,2,1.
Escribimos los números con sus signos de izquierda a derecha del siguiente modo: 2-3+4-15+2+1. Podemos evitar poner el signo + al 2 por ser el primero, y operamos de izquierda a derecha según el signo:
2-3+4-15+2+1 -1+4-15+2+1 2-3=-1 3-15+2+1 -1+4=3 -12+2+1 3-15=-12 -10+1 -12+2=-10 -9 -10+1=-9
Si observamos bien en el ejemplo anterior, el signo + del número indica que ese número debe adicionarse al que esta a su izquierda y el signo – del número indica que ese número debe sustraerse del que esta a su izquierda.
Ejemplo 5.
Adicionar y sustraer los siguientes números enteros: 4,5,-2,-1
Escribimos los números con sus signos de izquierda a derecha del siguiente modo: 4+5-2-1. Podemos evitar poner el signo + al 4 por ser el primero, y operamos de izquierda a derecha según el signo:
4+5-2-1=9-2-1=7-1=6
Ejemplo 6.
Adicionar y sustraer los siguientes números enteros: 4,-5,-2,-1
4-5-2-1=-1-2-1=-3-1=-4
Ejemplo 7.
Jorge se fue a jugar a un parque y encontró S/. 5 PEN, después en otro parque encontró S/. 3 PEN, y en otro parque encontró S/. 2 PEN. ¿Cuánto dinero encontró?
5+3+2=10, entonces Jorge encontró S/. 10 PEN.
Cuando operamos con números negativos se debe tener en cuenta el signo. Es decir los números negativos generalmente representan la ausencia de una cantidad, y si operamos esas cantidades el resultado de esta operación debe representar también esa ausencia, y eso se hace con el signo.
Ejemplo 8.
Jorge perdió S/. 5 PEN al jugar en un parque, después en otro parque perdió S/. 3 PEN, y finalmente en otro parque perdió S/. 2 PEN. ¿Cuánto dinero perdió?
-5-3-2=-10, entonces Jorge perdió S/. -10 PEN
Ejemplo 9.
Jorge tenia S/. 8 PEN y perdió S/. 5 PEN al jugar en un parque, después en otro parque tuvo suerte y encontró S/. 10.- PEN, y al regresar a casa perdió S/. 2 PEN. ¿Con cuanto dinero se quedo?
8-5+10-2=11, entonces Jorge se quedo con S/. 11 PEN
Ejemplo 10.
Jorge tenia S/.8 PEN y perdió S/. 5 PEN al jugar en un parque, y al regresar a casa perdió S/. 3 PEN. ¿Con cuanto dinero se quedo?
8-5-3=0, Jorge se quedo sin dinero.
‒ Axiomas de la adición y sustracción.
En los siguientes axiomas las letras a,b y c representan números enteros.
Nº | Axiomas | Simbólicamente |
1 |
Axioma 01: Conmutativa.El orden de los números enteros en la adición y sustracción no altera su resultado. Ejemplo: 5+4+3=4+3+5 4-3+6-1=-1+6+4-3 |
a+b+c=c+a+b |
2 |
Axioma 02: Asociativa. La adición y sustracción de varios números enteros no varía sustituyendo varios números enteros por su adición y sustracción correspondiente. Ejemplo 1: 8+9+10=17+10, se sustituyen los sumandos 8 y 9, por su adición 8+9=17. Ejemplo 2: 9+(5-3)=(9+5)-3=9+2=14-3=11 En este ejemplo se usan los signos de agrupación (), para indicar la sustitución de los números por su operación correspondiente. |
a+b+c=(c+a)+b |
3 |
Axioma 03: Disociativa. La adición y sustracción de varios números enteros no se altera al reemplazar uno o más números de forma que la adición y sustracción de los nuevos números enteros sea igual a la primera. Ejemplo 1: Si 8=5+3, entonces 4+8+9=4+(5+3)+9 Ejemplo 2: Si 3=5-2, entonces 4+3+9=4+(5-2)+9 |
Si a=b+c, ⇒ m+a+n=m+(b+c)+n |
4 |
Axioma 04: Elemento neutro. Existe sólo un numero entero el cero, que al adicionar o sustraer con otro número entero no altera el resultado de la operación. Ejemplo 1: 8+0=8. Ejemplo 2: 8+6+9+0=23 Ejemplo 3: 5-0=5 Ejemplo 4: 3-5+6-0=4 |
0+a=a |
5 |
Axioma 05: Clausura. Cuando se adicionan y sustraen números enteros el resultado es siempre otro número entero. Ejemplo 1: 8+15=23. Ejemplo 2: 3-5=-2 |
a+b=c |
6 |
Axioma 06: Uniforme. Cuando se adicionan o sustraen miembro a miembro dos igualdades se obtiene otra igualdad. Ejemplo 1: 8=8 y 7=7, entonces 8+7=8+7 Ejemplo 2: -5=-5 y 3=3, entonces -5+3=-5+3 Ejemplo 3: 4=4 y -3=-3, entonces 4-3=4-3 |
Si a=b y c=d, ⇒ a+c=b+d |
7 |
Axioma 07: Uniforme. Si a ambos miembros de una igualdad se adiciona o sustrae el mismo numero, la igualdad se mantiene. Ejemplo1: 8=8, entonces 8+5=8+5 Ejemplo 2: -3=-3, entonces -3+2=-3+2 Ejemplo 3: 5=5, entonces 5-3=5-3 |
Si a=b, ⇒ a+c=b+c |
8 |
Axioma 08: Monotonía.Cuando se adiciona o sustrae miembro a miembro dos desigualdades del mismo sentido, se obtiene otra desigualdad del mismo sentido. Ejemplo1: 8<9, entonces 8+5<9+5 Ejemplo2: 4>2, entonces 4+2>2+2 Ejemplo 3: -3<2, entonces -3-2<2-2 Ejemplo 4: -5>-2, entonces -5+1>-2+1 |
Si a>b ⇒ a+c>b+c Si a<b ⇒ a+c<b+c |
9 |
Axioma 09: Monotonía.Cuando se adiciona o sustrae un número a cada miembro de una desigualdad, la desigualdad se mantiene.. Ejemplo1: 8<9 y 3<5, entonces 8+3<9+5 Ejemplo2: 2>1 y 5>3, entonces 2+5>1+3 Ejemplo 3: -3<2 y -2<1, entonces -3-2<2+1 Ejemplo 4: -2>-5 y 5>2, entonces -2+5>-5+2 |
Si a>b y c>d, ⇒ a+c>b+c Si a<b y c<d, ⇒ a+c<b+c |
Última revisión: 16/12/2018.