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MATEMATICA I

MATEMATICA I

MATEMATICA I


12. ADICIÓN, SUSTRACCIÓN, OPUESTO Y VALOR ABSOLUTO DE NÚMEROS ENTEROS.
12.1. ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS ENTEROS.
12. ADICIÓN, SUSTRACCIÓN, OPUESTO Y VALOR ABSOLUTO DE NÚMEROS ENTEROS.
12.1. ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS ENTEROS.
12. ADICIÓN, SUSTRACCIÓN, OPUESTO Y VALOR ABSOLUTO DE NÚMEROS ENTEROS.
12.1. ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS ENTEROS.

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‒ ¿Qué es la adición y sustracción de números enteros?

La suma y resta en los números enteros es muy diferente a como se hace con los números naturales, cuando hacemos operaciones de suma y resta con números enteros lo que estamos haciendo es adicionar y sustraer cantidades en dicha operación. Por lo que la suma en los números enteros se conoce como adición y a la resta en los números enteros se conoce como sustracción. Los números positivos cumplen el papel de adicionar cantidades en una operación y los números negativos cumplen el papel de sustraer cantidades en la operación. Cuando se quiere adicionar y sustraer números enteros, estos simplemente se escriben con su signo correspondiente para realizar la operación.

Dentro de los números enteros y otros números que se estudiarán más adelante, no se suele hacer mucha diferencia entre las adiciones y sustracciones, ambas se se suelen mencionar como una sola operación, es decir se suele decir: “Operar los siguientes números enteros” o “Realizar la siguiente operación con números enteros”, en ves de decir: “Adicionar o sustraer los siguientes números enteros” o “Realizar la adición y sustracción de los siguientes números enteros”

Antes de aprender a adicionar y sustraer varios números enteros, debemos aprender a adicionar y sustraer dos números enteros, y para ello se dan los siguientes algoritmos o procedimientos:

  1. Si los dos números enteros tienen el mismo signo, entonces se adicionan o suman los números como si fuera una adición normal y se coloca al mismo resultado el signo de estos números.
  2. Si los dos números enteros tienen distinto signo, entonces se comparan los números sin tomar en cuenta su signo y se resta o sustrae el número mayor del menor, y al resultado se le coloca el signo que le corresponde al número mayor que se escogió sin considerar su signo.
  3. Si los dos números enteros tienen distinto signo y son iguales sin considerar el signo entonces el resultado será 0.
Ejemplo 1.

Operar los siguientes números enteros del mismo signo: -5 y -3, +5 y +5, -3 y -3.


-5-3=-8

+5+5=+10

-3-3=-6

Tal como se puede observar al haber dos números negativos estos se suman sin tomar en cuenta el signo, es decir -5-3=-8, se pudo escribir como una suma de -5 y -3 algo así como -5+-3=-8.

Ejemplo 2.

Operar los siguientes números enteros con signos distintos: -5 y 3, 9 y -3, -8 y 2, 2 y -5.


-5+3=-2 , se resta 5 de 3, y se toma el signo -, porque 5 es mayor que 3.

9-3=6, se resta 9 de 3, y se toma el signo +, porque 9 es mayor que 3.

-8+2=-6, se resta 8 de 2, y se toma el signo -, porque 8 es mayor que 2.

2-5=-3, se resta 5 de 2, y se toma el signo -, porque 5 es mayor que 2.

Ejemplo 3.

Operar los siguientes números enteros con signos distintos: -5 y 5, 9 y -9.


-5+5=0

9-9=0

Tal como se puede observar, en la operación -5+5=0, ambos números son iguales sin considerar el signo, por consiguiente el resultado será 0. Lo mismo sucederá con 9 y -9.

Para adicionar y sustraer varios números enteros simplemente escribimos los números con sus signos correspondientes, y comenzamos a operar tomando de dos en dos, desde la izquierda hacia la derecha.

Ejemplo 4.

Adicionar y sustraer los siguientes números 2,-3,4,-15,2,1.


Escribimos los números con sus signos de izquierda a derecha del siguiente modo: 2-3+4-15+2+1. Podemos evitar poner el signo + al 2 por ser el primero, y operamos de izquierda a derecha según el signo:


2-3+4-15+2+1  
-1+4-15+2+1 2-3=-1
3-15+2+1 -1+4=3
-12+2+1 3-15=-12
-10+1 -12+2=-10
-9 -10+1=-9


Si observamos bien en el ejemplo anterior, el signo + del número indica que ese número debe adicionarse al que esta a su izquierda y el signo – del número indica que ese número debe sustraerse del que esta a su izquierda.

Ejemplo 5.

Adicionar y sustraer los siguientes números enteros: 4,5,-2,-1


Escribimos los números con sus signos de izquierda a derecha del siguiente modo: 4+5-2-1. Podemos evitar poner el signo + al 4 por ser el primero, y operamos de izquierda a derecha según el signo:


4+5-2-1=9-2-1=7-1=6

Ejemplo 6.

Adicionar y sustraer los siguientes números enteros: 4,-5,-2,-1


4-5-2-1=-1-2-1=-3-1=-4

Ejemplo 7.

Jorge se fue a jugar a un parque y encontró S/. 5 PEN, después en otro parque encontró S/. 3 PEN, y en otro parque encontró S/. 2 PEN. ¿Cuánto dinero encontró?


5+3+2=10, entonces Jorge encontró S/. 10 PEN.


Cuando operamos con números negativos se debe tener en cuenta el signo. Es decir los números negativos generalmente representan la ausencia de una cantidad, y si operamos esas cantidades el resultado de esta operación debe representar también esa ausencia, y eso se hace con el signo.

Ejemplo 8.

Jorge perdió S/. 5 PEN al jugar en un parque, después en otro parque perdió S/. 3 PEN, y finalmente en otro parque perdió S/. 2 PEN. ¿Cuánto dinero perdió?


-5-3-2=-10, entonces Jorge perdió S/. -10 PEN

Ejemplo 9.

Jorge tenia S/. 8 PEN y perdió S/. 5 PEN al jugar en un parque, después en otro parque tuvo suerte y encontró S/. 10.- PEN, y al regresar a casa perdió S/. 2 PEN. ¿Con cuanto dinero se quedo?


8-5+10-2=11, entonces Jorge se quedo con S/. 11 PEN

Ejemplo 10.

Jorge tenia S/.8 PEN y perdió S/. 5 PEN al jugar en un parque, y al regresar a casa perdió S/. 3 PEN. ¿Con cuanto dinero se quedo?


8-5-3=0, Jorge se quedo sin dinero.

‒ Axiomas de la adición y sustracción.

En los siguientes axiomas las letras a,b y c representan números enteros.


‒ Axiomas
Axiomas Simbólicamente

1

Axioma 01: Conmutativa.El orden de los números enteros en la adición y sustracción no altera su resultado.

Ejemplo:

5+4+3=4+3+5

4-3+6-1=-1+6+4-3

a+b+c=c+a+b

2

Axioma 02: Asociativa. La adición y sustracción de varios números enteros no varía sustituyendo varios números enteros por su adición y sustracción correspondiente.

Ejemplo 1:

8+9+10=17+10, se sustituyen los sumandos 8 y 9, por su adición 8+9=17.

Ejemplo 2:

9+(5-3)=(9+5)-3=9+2=14-3=11

En este ejemplo se usan los signos de agrupación (), para indicar la sustitución de los números por su operación correspondiente.

a+b+c=(c+a)+b

3

Axioma 03: Disociativa. La adición y sustracción de varios números enteros no se altera al reemplazar uno o más números de forma que la adición y sustracción de los nuevos números enteros sea igual a la primera.

Ejemplo 1:

Si 8=5+3, entonces 4+8+9=4+(5+3)+9

Ejemplo 2:

Si 3=5-2, entonces 4+3+9=4+(5-2)+9

Si a=b+c, ⇒ m+a+n=m+(b+c)+n

4

Axioma 04: Elemento neutro. Existe sólo un numero entero el cero, que al adicionar o sustraer con otro número entero no altera el resultado de la operación.

Ejemplo 1:

8+0=8.

Ejemplo 2:

8+6+9+0=23

Ejemplo 3:

5-0=5

Ejemplo 4:

3-5+6-0=4

0+a=a

5

Axioma 05: Clausura. Cuando se adicionan y sustraen números enteros el resultado es siempre otro número entero.

Ejemplo 1:

8+15=23.

Ejemplo 2:

3-5=-2

a+b=c

6

Axioma 06: Uniforme. Cuando se adicionan o sustraen miembro a miembro dos igualdades se obtiene otra igualdad.

Ejemplo 1:

8=8 y 7=7, entonces 8+7=8+7

Ejemplo 2:

-5=-5 y 3=3, entonces -5+3=-5+3

Ejemplo 3:

4=4 y -3=-3, entonces 4-3=4-3

Si a=b y c=d, ⇒ a+c=b+d

7

Axioma 07: Uniforme. Si a ambos miembros de una igualdad se adiciona o sustrae el mismo numero, la igualdad se mantiene.

Ejemplo1:

8=8, entonces 8+5=8+5

Ejemplo 2:

-3=-3, entonces -3+2=-3+2

Ejemplo 3:

5=5, entonces 5-3=5-3

Si a=b, ⇒ a+c=b+c

8

Axioma 08: Monotonía.Cuando se adiciona o sustrae miembro a miembro dos desigualdades del mismo sentido, se obtiene otra desigualdad del mismo sentido.

Ejemplo1:

8<9, entonces 8+5<9+5

Ejemplo2:

4>2, entonces 4+2>2+2

Ejemplo 3:

-3<2, entonces -3-2<2-2

Ejemplo 4:

-5>-2, entonces -5+1>-2+1

Si a>b ⇒ a+c>b+c

Si a<b ⇒ a+c<b+c

9

Axioma 09: Monotonía.Cuando se adiciona o sustrae un número a cada miembro de una desigualdad, la desigualdad se mantiene..

Ejemplo1:

8<9 y 3<5, entonces 8+3<9+5

Ejemplo2:

2>1 y 5>3, entonces 2+5>1+3

Ejemplo 3:

-3<2 y -2<1, entonces -3-2<2+1

Ejemplo 4:

-2>-5 y 5>2, entonces -2+5>-5+2

Si a>b y c>d, ⇒ a+c>b+c

Si a<b y c<d, ⇒ a+c<b+c




Última revisión: 16/12/2018.



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