‒ ¿Qué es la multiplicación con números enteros?
La multiplicación con números enteros es muy similar a la multiplicación con números naturales, excepto por el uso de los signos. Para poder multiplicar números enteros debemos conocer la regla de los signos, que es un pequeño algoritmo, y consiste sólo en la siguiente regla: Al multiplicar dos números enteros, se multiplican estos sin considerar el signo de estos, después se evalúan los signos del siguiente modo: Si ambos números tienen el mismo signo entonces el resultado tendrá signo positivo en caso contrario el resultado tendrá un signo negativo. Esto se puede resumir en la siguiente tabla:
- x - = + + x + = + - x + = - + x - = -
Ejemplo 1.
Multiplicar los siguientes números: 4x-5x6x-8.
4x-5=-20 entonces nos queda multiplicar -20x6x-8
-20x6=-120 entonces nos queda multiplicar -120x-8
-120x-8=960 que es el resultado final.
Ejemplo 2.
Juan gasta S/ 3.-, en pasaje para ir a trabajar en 5 días. ¿Cuánto gastará en esos 5 días?
-3 representa lo que se gastará en un día y 5 representa los días en que va a trabajar Juan. Entonces -3x5=-15. Gasto S/. -15.-
Ejemplo 3.
Juan gasta S/ 3.- en pasaje para ir a trabajar en 5 días, pero se enferma y no va a trabajar. ¿Cuánto dinero no gasto en esos días?
-3 representa lo que se gastará en un día y -5 representa los días en que Juan no va a trabajar. Entonces -3x-5=15. No gasto S/. 15.
‒ Axiomas de la multiplicación.
En los siguientes axiomas las letras a,b y c representan números enteros.
Nº | Axiomas | Simbólicamente |
1 |
Axioma 01: Conmutativa. El orden de los factores no altera el resultado de la multiplicación. Ejemplo 1: 5·-4·3=-4·3·5 |
a·b·c=b·c·a |
2 |
Axioma 02: Asociativa. La multiplicación de varios números no varía sustituyendo varios factores por su multiplicación. Ejemplo 1: 8·-3·10=8·-30, se sustituyen los factores -3 y 10, por su multiplicación -3·10=-30. Ejemplo 2: 9·(-5·3)=(9·-5)·3=9·-15=-45·3=-135 En este ejemplo se usan los signos de agrupación (), para indicar la sustitución de los factores por su multiplicación |
a·b·c=(c·a)·b |
3 |
Axioma 03: Disociativa. La multiplicación de varios números no se altera al reemplazar uno o más factores de forma que la multiplicación de los nuevos factores sea igual a la primera. Ejemplo 1: Si -15=-5·3, entonces 3·-15·2=3·(-5·3)·2 |
Si a=b·c, => m·a·n=m·(b·c)·n |
4 |
Axioma 04: Elemento neutro. Existe sólo un numero, el uno, que al multiplicar con otro número no altera el resultado de la multiplicación. Ejemplo 1: 8·1=8. Ejemplo 2: -8·1=-8. |
a·1=a |
5 |
Axioma 05: Elemento cero. Existe sólo un numero, el cero, que al multiplicar con otro número el resultado será cero. Ejemplo 1: 5·0=0 Ejemplo 2: -5·0=0 |
a·0=0 |
6 |
Axioma 06: Clausura Cuando se multiplican números enteros el resultado es siempre otro número entero. Ejemplo 1: 23·9=207. Ejemplo 2: -5·9=-45 |
a·b=c |
7 |
Axioma 07: Uniforme. Cuando se multiplican miembro a miembro dos igualdades se obtiene otra igualdad. Ejemplo 1: 8=8 y 7=7, entonces 8·7=8·7 Ejemplo 2: -2=-2 y 5=5, entonces -2·5=-2·5 |
Si a=b y c=d, => a·c=b·d |
8 |
Axioma 08: Uniforme. Si a ambos miembros de una igualdad se le multiplica el mismo numero, la igualdad se mantiene. Ejemplo1: 8=8, entonces 8x5=8x5 Ejemplo2: -3=-3, entonces -3x5=-3x5 |
Si a=b, => a·c=b·c |
9 |
Axioma 09: Monotonía. Cuando se multiplica miembro a miembro dos desigualdades, se obtiene otra desigualdad del mismo sentido, siempre y cuando ambos miembros sean mayor que 0. Ejemplo1: 2>1 y 5>3, entonces 2·5>1·3, si y sólo si 2>1>0 y 5>3>0 Ejemplo2: 8<9 y 3<5, entonces 8·3<9·5, si y sólo si 0<8<9 y 0<3<5. |
Si a>b y c>d, => a·c>b·d ↔ a>b>0 y c>d>0 Si a<b y c<d, => a·c<b·d ↔ 0<a<b y 0<c<d |
10 |
Axioma 10: Monotonía. Cuando se multiplica un número positivo a cada miembro de una desigualdad, la desigualdad se mantiene. Ejemplo1: 8<9, entonces 8x5<9x5 Ejemplo2: 4>2, entonces 4x2>2x2 |
Si a>b, => a·c>b·c ↔ c>0 Si a<b, => a·c<b·c ↔ c>0 |
11 |
Axioma 11: Monotonía. Cuando se multiplica un número negativo a cada miembro de una desigualdad, la desigualdad se invierte. Ejemplo1: 8<9, entonces 8x-5>9x-5 Ejemplo2: 4>2, entonces 4x-2<2x-2 |
Si a>b, => a·c<b·c ↔ c<0 Si a<b, => a·c>b·c ↔ c<0 |
12 |
Axioma 12: Distributiva. Un número multiplicado por la adición o sustracción de dos números, es igual a la adición o sustracción de ese numero, multiplicado por cada uno de los dos números de la adicion o sustracción que multiplica al número. Ejemplo 1: 4(5+3)=4·5+4·3 Ejemplo 2: -4(5+3)=-4·5+-4·3 Ejemplo 3: 4(5-3)=4·5-4·3 Ejemplo 4: -2(2-9)=-2·2-2·-9 |
a(b+c)=a·b + a·c a(b-c)=a·b-a·c |
Última revisión: 16/12/2018.