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MATEMATICA I

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20. NÚMEROS DECIMALES.
20.2. CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS DECIMALES.
20. NÚMEROS DECIMALES.
20.2. CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS DECIMALES.
20. NÚMEROS DECIMALES.
20.2. CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS DECIMALES.

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‒ Clasificación de los números decimales en exactos, periodicos y mixtos.

La clasificación de los números decimales se hacen tomando en cuenta la parte decimal del mismo, esta se pueden clasificar en exactos, periódico puro, periódico mixto.

Los decimales exactos son aquellos que tienen una cantidad de decimales finitos, es decir si dividimos dos números y obtenemos un cociente con una cantidad de decimales fijo después de seguir dividiendo los residuos hasta obtener un residuo igual a cero.

Ejemplo 1.

Determinar si al dividir 23 entre 2 nos da un decimal exacto.

23/2=11 r=1 n=11 Tendremos como cociente el 11 y residuo 1. La parte entera sera el 11.
10/2=5 r=0 n=11.5 Dividimos el nuevo residuo con 2 multiplicado con 10, el cociente que se obtiene será 5, siendo la primera aproximación. Y como el residuo es 0 ya no se continua y de ese modo sabremos que el cociente es un decimal exacto.

Es decir al dividir 23/2, obtendremos un número decimal exacto igual a 11.5 ya que después de seguir dividiendo los residuos se llega a un residuo igual a 0.

Ejemplo 2.

Determinar si al dividir 269/200 se obtiene un decimal exacto.

269/200=1 r=69 n=1 Tendremos como cociente 1 y residuo 69. La parte entera sera el 1.
690/200=3 r=90 n=1.3 Dividimos el nuevo residuo 69 multiplicado con 10 entre 200, el cociente que se obtiene es 3, siendo la primera aproximación.
900/200=4 r=100 n=1.34 Dividimos el nuevo residuo 90 multiplicado con 10 entre 200, el cociente que se obtiene es 4, siendo la segunda aproximación.
1000/200=5 r=0 n=1.345 Dividimos el nuevo residuo 100 multiplicado con 10 entre 200, el cociente que se obtiene es 5, y como el residuo es 0 ya no se continua y de ese modo sabremos que el cociente es un decimal exacto.

Es decir al dividir 269/200, obtendremos un número decimal exacto igual a 1.345 ya que después de seguir dividiendo los residuos se llega a un residuo igual a 0.

Los decimales periódicos puros son aquellos que tienen una cantidad infinita de decimales siguiendo un patrón repetido y el residuo que se obtiene después de dividir los residuos es siempre el mismo. La parte repetitiva se suele llamar parte periódica, y esta se suele indicar con una linea en la parte superior de las cifras que se repiten.

Ejemplo 3.

Determinar si al dividir 7/3 se obtiene un decimal periódico puro.

7/3=2 r=1 n=2 Tendremos como cociente 2 y residuo 1. La parte entera sera el 2.
10/3=3 r=1 n=1.3 Dividimos el nuevo residuo 1 multiplicado con 10 entre 3, el cociente que se obtiene es 3, siendo la primera aproximación.
10/3=3 r=1 n=1.33 Dividimos el nuevo residuo 1 multiplicado con 10 entre 3, el cociente que se obtiene es 3, siendo la segunda aproximación. Pero como el residuo siempre será el mismo que el anterior entonces se deduce que el cociente será un decimal periódico puro.

Es decir que al dividir 7/3, obtendremos un número decimal periódico puro igual a 1.3, con la cifra decimal 3 como el patrón que se repite indefinidamente.

Los decimales periódicos mixtos son aquellos que tienen las primeras cifras de la parte decimal sin seguir un patrón repetitivo y la ultima parte siguiendo un patrón repetitivo. Las cifras decimales que no se repiten se suelen llamar anti-periodo o parte no periódica y las cifras que se repiten se suelen llamar periódicas o parte periódica.

Ejemplo 4.

Determinar si al dividir 29/18 se obtiene un decimal periódico mixto.

29/18=1 r=11 n=1 Tendremos como cociente 1 y residuo 11. La parte entera sera el 1.
110/18=6 r=2 n=1.6 Dividimos el nuevo residuo 11 multiplicado con 10 entre 18, el cociente que se obtiene es 6, siendo la primera aproximación.
20/18=1 r=2 n=1.61 Dividimos el nuevo residuo 2 multiplicado con 10 entre 18, el cociente que se obtiene es 1, siendo la segunda aproximación.
20/18=1 r=2 n=1.611 Dividimos el nuevo residuo 2 multiplicado con 10 entre 18, el cociente que se obtiene es 1, siendo la tercera aproximación. Pero desde aquí en adelante se puede deducir que el residuo será siempre igual al anterior entonces el cociente será un decimal periódico mixto.

Es decir que al dividir 29/18, obtendremos un número decimal periódico mixto igual a 1.61, con la cifra decimal 6 como antiperiodo o la parte decimal no periódica y la cifra decimal 1 como la parte periódica.

‒ Obtención de la fracción generatriz.

Un número decimal se puede expresar como una fracción y llamamos fracción generatriz a esa fracción que da origen al número decimal, por ejemplo la fracción 29/18 es la fracción generatriz del número decimal periódico mixto 1.61, a continuación se describen los procedimientos para obtener la fracción generatriz de un número decimal exacto, periódico puro y periódico mixto.

Para obtener la fracción generatriz de un decimal exacto se debe colocar como numerador el numero decimal sin el punto decimal, y como denominador la unidad seguida de tantos ceros igual a la cantidad de cifras decimales que tenga el número decimal.

Ejemplo 1.

Hallar la fracción generatriz del siguiente número decimal exacto 3.45.


Lo primero que hacemos es colocar como numerador el número decimal sin el punto que será 345, y como denominador el 1 de dos 0 es decir 100, ya que la parte decimal tiene solo dos cifras decimales, luego se simplifica hasta obtener la siguiente fracción 69/20.


Para obtener la fracción generatriz de un decimal periódico puro se debe colocar como numerador el numero decimal sin el punto y restarle la parte entera, y como denominador se debe colocar un numero formado por tantos nueves igual a la cantidad de cifras decimales que tenga el número decimal.

Ejemplo 2.

Hallar la fracción generatriz del siguiente número decimal periódico puro 3.45


Primero se coloca como numerador el resultado de restarle el número decimal sin el punto menos la parte entera, es decir debemos restar 345-3, que nos da 342, y para el denominador colocamos un numero formado por dos cifras 9, es decir 99 ya que la parte decimal periódica tiene dos cifras que se repiten, con esto obtenemos la siguiente fracción 342/99 que simplificando será 38/11


Para obtener la fracción generatriz de un decimal periódico mixto se debe colocar como numerador el número decimal sin el punto y restarle el número formado con la parte entera y la parte no periódica del número decimal, y como denominador se debe colocar un número formado por tantos nueves igual a la cantidad de cifras que tenga la parte periódica y por tantos ceros igual a la cantidad de cifras que tanga la parte no periódica.

Ejemplo 3.

Hallar la fracción generatriz del siguiente decimal mixto 1.61


Para el numerador tendremos que restar el numero decimal sin el punto con la parte entera y la parte no periódica, es decir 161-16, para el denominador se coloca el numero formado por una cifra 9 y una cifra 0, es decir 90, se coloca un 9 ya que la parte periódica solo tiene una cifra que se repite que es el 1 y se coloca un 0 ya que la parte no periódica tiene solo una cifra que no se repite que es el 6. con esto se obtiene la siguiente fracción 145/90 que simplificando será 29/18


‒ Representación gráfica.

La representación gráfica de un número decimal sobre una recta es una representación aproximada más no exacta, y depende del medio que se use para obtener mayor exactitud, si representamos estos números sobre un medio como por ejemplo un cuaderno entonces lo recomendado es hacer representaciones hasta las décimas o centésimas, y si fuera necesario redondear a las décimas el número decimal, pero todo depende del tamaño del medio que se use para representar el número decimal. Si queremos precisión lo recomendado es usar computadoras, una tableta o una calculadora científica que permita graficar números decimales en la recta numérica.

En el caso de decimales exactos, primero debemos fijarnos que la parte entera y la parte entera más uno del número decimal nos dice entre que números enteros se encuentra el número en la recta numérica, y la parte decimal nos dice en cuantas partes debemos dividir ese segmento, pero dependiendo de la precisión que queremos alcanzar. Es decir si queremos representar un número decimal hasta las décimas entonces el segmento se divide en 10 partes y se toman solo lo que se indica en las décimas del número, y para las centésimas dividimos el segmento en 100 partes y tomamos las partes que se indica en las centésimas del número, y para milésimas hacemos algo similar pero dividimos el segmento en mil partes y así sucesivamente. Otra manera de entenderlo o explicarlo es que la parte entera y la parte entera más uno nos dice entre que números enteros se encuentra el número en la recta, luego se divide el segmento en 10 partes iguales y se ubica en ella la cifra de las décimas; luego se toma el segmento formado por la cifra de las décimas y la cifra de las décimas más uno, se divide en 10 partes iguales y se ubica en ella la cifra de las centésimas; luego se toma el segmento formado por la cifra de las centésimas y la cifra de las centésimas más uno, se divide en 10 partes iguales y se ubica en ella la cifra de las milésimas y así sucesivamente con las demás cifras decimales.

Ejemplo 1.

Representar el siguiente número decimal 3.47 en una recta numérica.

Dibujamos una recta numerada desde el 2 al 5, y dividimos el segmento que se encuentra entre 3 y 4, en diez partes iguales.




Luego dividimos en 10 partes iguales, el segmento que se encuentra entre la cifra de las décimas 4 y 5, para luego ubicar en ella la cifra de las centésimas 7, y esa posición será la ubicación exacta del número decimal 3.47




En el caso de números decimales periódicos o periódicos mixtos, lo recomendado es hallar la fracción generatriz del número decimal y graficar dicha fracción en la recta numérica. Ver capitulo 15-01 en la sección representación gráfica de números fraccionarios. En el caso de que usemos un medio no muy grande (un cuaderno) para representar el numero decimal periódico o periódico mixto y la fracción generatriz obtenida tenga un denominador muy grande, como por ejemplo 45,75,90,99,etc. entonces lo recomendado es redondear este número a las décimas y hacer una representación aproximada como si fuera un número decimal exacto. Veamos a continuación un ejemplo de como representar un número decimal periódico mixto.

Ejemplo 2.

Representar el siguiente número decimal 3.16 en una recta numérica.


En este caso debemos hallar la fracción generatriz de 3.16




Tal como se puede observar el denominador de la fracción generatriz es pequeño por lo que se puede representar fácilmente, lo que tenemos que hallar es el segmento a dividir que en este caso será entre el 3 y 4, esto lo podemos obtener dividiendo 19/6 para obtener el cociente o tomar la parte entera del número decimal, para obtener el residuo en este caso como ya tenemos el cociente, simplemente restamos al numerador 19 con la multiplicación de 3 por 6, r=19-(3x6), con lo que el residuo será r=1, el residuo será la parte que se tomara del segmento entre 3 y 4 divido en 6 partes indicado por el denominador de la fracción generatriz obtenida.







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