MATEMATICA I

MATEMATICA I

MATEMATICA I


5. DIVISIÓN CON NÚMEROS NATURALES Y DIVISIBILIDAD.
5.1. DIVISIÓN CON NÚMEROS NATURALES.
5. DIVISIÓN CON NÚMEROS NATURALES Y DIVISIBILIDAD.
5.1. DIVISIÓN CON NÚMEROS NATURALES.
5. DIVISIÓN CON NÚMEROS NATURALES Y DIVISIBILIDAD.
5.1. DIVISIÓN CON NÚMEROS NATURALES.
ÍNDICE


‒ ¿Qué es la división?

La División es la operación inversa de la multiplicación, en donde se busca un numero (cociente) que nos indique cuantas veces se debe sumar otro numero (denominador) para obtener un número ya conocido (dividendo). Al numero conocido se le llama dividendo, y al numero buscado se le conoce como cociente, y el numero que se debe sumar tantas veces se le conoce como denominador.

Ejemplo 1.

¿Cuantas veces se necesita sumar el 5 para obtener 20?.


Como se puede observar si probamos con sumar 4 veces el 5, entonces obtendremos el 20, con lo que el cociente que nos indica cuantas veces sumar el denominador 5, es el 4.

El signo de la División, puede ser la barra oblicua /, dos puntos :, o él óbelo ÷, colocado entre dos números del siguiente modo:

a:b=c,

en donde a es el dividendo, b el denominador, y c el cociente. En toda división el denominador, siempre debe ser mayor que 0, es decir:

Si a:b=c, entonces b > 0.

Otro modo de escribir la división es dibujando una línea horizontal y colocar encima de ella el Dividendo y debajo el denominador factor, tal como se muestra a continuación.

`a/b=c`

Como la división es la operación inversa de la multiplicación, entonces si multiplicamos el denominador con el cociente se obtiene el Dividendo, es decir:

Si a:b=c, entonces b·c=a.

La División no siempre es posible con los números naturales, es decir no siempre es posible encontrar un cociente que nos indique cuantas veces se debe sumar el denominador.

Ejemplo 2.

¿Cuantas veces se necesita sumar el 3 para obtener el 14?.


Como se puede observar, si sumamos 2 veces el 3 obtenemos el 6 (3+3=6), pero si sumamos 3 veces el 3 obtenemos el 9 (3+3+3), y si sumamos 4 veces el 3 tendremos el 12 (3+3+3+3), el 12 sería el número más cercano al 14, faltando sólo sumar el 2 para obtener el 14, si seguimos buscando encontraremos sólo números mayores al 14. El número 2 que nos falta sumar para obtener el 14 se conoce como resto o residuo.

Cuando la división es posible con números naturales a esta se le conoce como división exacta y al denominador se le suele llamar divisor, cuando no es posible se conoce como división inexacta o euclidiana. La división inexacta se representa simbólicamente del siguiente modo:

a=bc+r,

en donde a es el dividendo, b es el denominador, y c el cociente y r el resto o residuo.

Otradefinición de la división es la de reparto, en donde se intenta repartir el dividendo en partes iguales al denominador en donde la cantidad de partes es el cociente. Cuando el reparto no se logra se dice que es una división inexacta, en donde el resto o residuo, indica lo que falta o queda por repartir.

Ejemplo 3.

Se desea repartir 40 manzanas a un grupo de 5 personas.


Para ello tenemos que 40 manzanas representan el dividendo y las 5 personas representa el denominador, con eso podemos ir probando, primero repartimos 2 manzanas a cada persona y nos da 5+5=5x2=10, que no es el total de manzanas a repartir, seguimos probando con 3 y nos da 5+5+5=5x3=15, que no es el total de manzanas a repartir, y finalmente probamos con 4 y nos da 5+5+5+5=5x4=20, que nos dice que la cantidad de manzanas a repartir es 4 el cociente.

‒ Axiomas de la división.

En los siguientes axiomas las letras a,b y c representan números naturales.


‒ Axiomas.
Axiomas Simbólicamente

1

Axioma 01: Existe sólo un numero natural el uno, que al dividir a otro número natural no altera el resultado de la división. Lo contrario no es posible en los números naturales.

Ejemplo 1:

8:1=8.

a:1=a,

1:a no es posible con los números Naturales.

2

Axioma 02: Cuando se divide el cero con cualquier otro numero natural el resultado siempre será cero.

Ejemplo 1:

0:5=0

0:a=0,

0:0 no es posible.

3

Axioma 03: Si se dividen dos igualdades miembro a miembro, entonces la igualdad se mantiene.

Ejemplo 1:

8=8 y 4=4, entonces 8:4=8:4

Si a=b y c=d, => a:c=b:d
4

Axioma 04: Cuando se divide un número a cada miembro de una desigualdad y si este número es mayor que cero, entonces la desigualdad se mantiene.

Ejemplo 1:

 

8<16, entonces 8:2<16:2

Ejemplo 2:

4>2, entonces 4:2>2:2

Si a<b, => a:c<b:c

Si a>b, => a:c>b:c ↔ c>0

5

Axioma 05: La suma o resta de dos números naturales, dividido por un numero natural es igual a la suma o resta, de las divisiones de cada sumando por ese número, lo contrario no es posible.

Ejemplo 1:

(4+8)/2=4/2+8/2=6

Ejemplo 2:

(4+5)/2=4/2+5/2=2+5/2

Ejemplo 3:

4/(5+4)≠4/5+4/4

(a+b)/c = a/c+b/c

(a-b)/c=a/c-b/c

6

Axioma 06: Si se dividen dos desigualdades de sentidos contrarios, entonces el resultado será una desigualdad con el sentido de la desigualdad que use sus miembros como dividendo.

Ejemplo 1:

8>4 y 5<6, 8:5>4:6

Ejemplo 2:

9>5 y 1<7, 9:1>5:7

Si a<b y c>d, => a:c<b:d

Si a>b y c<d, => a:c>b:d

7

Axioma 07: Si se dividen miembro a miembro dos desigualdades del mismo sentido, el resultado será impredecible.

Ejemplo 1:

10>2 y 2>1, 10:2>8:1

Ejemplo 2:

24>20 y 8>4, 24:8<20:4

Ejemplo 3:

20<25 y 4<5, 20:4=25:5

Si a<b y c<d, => impredecible

Si a>b y c>d, => impredecible

8

Axioma 08: En una división inexacta, en donde el dividendo es menor que el denominador, el cociente siempre será 0 y el residuo será el dividendo.

Ejemplo 1:

10:15=0 y residuo=10

Ejemplo 2:

256:1589=0 y residuo=256

Si a<b, => a:b=0 y r=a




Última revisión: 13/01/2015.



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